2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству. Другими словами, - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом.

Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство.

Обозначается предел следующим образом:

Пример 1. Найти предел.

Решение. Введем обозначение, откуда. При имеем, что. Тогда

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке, если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел; 3) этот предел равен значению функции в точке, т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().

Пример 2. Найти точки разрыва функции.

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или. Это окружность с центром в начале координат и радиусом. Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность.

Дискретная математика

Все логические операции, которые были рассмотрены в 3.2, распространяются и на функции нескольких переменных. Теперь будем рассматривать функции F(x1, x2,…, xn), где xi - логические переменные, которые принимают значения нуля или единицы...

Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Если = a1b1. то =а1b1+а2b2 Теорема 1. Пусть (а1а2)(b1b2) - одномонотонные последовательности. Тогда Доказательство Действительно, - =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2) Так как последовательности (а1а2)(b1b2) одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2 имеют одинаковый знак...

Математическое программирование

Метод множителей Лагранжа можно использовать при построении критериев оптимальности для задач с ограничениями в виде равенств. Кун и Таккер обобщили этот подход на случай общей задачи нелинейного программирования с ограничениями...

Минимакс и многокритериальная оптимизация

Пусть имеется функция f(x) при x ? x, х = (х1, ... , хn). Рассмотрим все ее первые и вторые производные в точке: = 0, ; || || , -- положительно (отрицательно) определенная матрица. Тогда в таких точках будет наблюдаться соответственно минимум (максимум)...

Минимум функции многих переменных

Пределы. Сравнение бесконечно малых величин

При исследовании графиков различных функций можно видеть, что при неограниченном стремлении аргумента функции к какой-то величине, то ли конечной, то ли бесконечной, сама функция также может принимать ряд значений...

Применение производной к решению задач

Определение 3. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a или в некоторых точках этой окрестности. Функция y=f(x) стремится к пределу b(yb) при x, стремящемся к a, если для каждого положительного числа, как бы мало оно ни было...

Пусть функция f(x) определена на (a, + ?). Число A называется пределом функции f(x) при x > + ? (обозначается A = lim x > + ? f(x)), если? ? > 0 ? N: ? x > N ? |f(x) ? a| < ?. Пусть функция f(x) определена на (? ?,a)...

Решение заданий по высшей математике

Пусть функция f(x) определена в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Число A называется пределом функции f(x) при x > x0 (или в точке x0), если для любого? > 0 найдется? > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < |x ? x0| < ?...

Сравнительный анализ методов оптимизации

Будем рассматривать функции многих переменных f =f (x1, …, xn) как функции, заданные в точках х n-мерного евклидова пространства Еn: f =f (х). 1. Точка х*Еn, называется точкой глобального минимума функции f (х)...

Функции многих переменных

Функции многих переменных

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов...

Функции нескольких переменных

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. Пусть - произвольная точка плоскости. - окрестностью точки называется множество всех точек, координаты которых удовлетворяют неравенству...

Функции нескольких переменных

Определение 7. Точка называется точкой минимума (максимума) функции, если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство, ()...

Определение 25.7.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.

или .

Пример 25.3.

1) непрерывна в любой точке.

2)

Предел не существует при , т.е. (0,0) – точка разрыва.

Основные свойства непрерывных функций двух переменных

Определение 25.8.

Множество точек плоскости называется связным , если любые две точки этого множества можно соединить линией.

Определение 25.9.

Точка называется внутренней точкой множества , если существует, состоящая из точек данного множества.

Определение 25.10.

Связное, открытое множество (состоящее лишь из внутренних точек) называется открытой областью или просто область

(например, внутренность круга).

Определение 25.11.

Точка называется граничной точкой области, если в любой существуют точки, как ей принадлежащие, так и не принадлежащие. Множество всех граничных точек этой области называется границей области. Обозначение: .

Определение 25.12.

Множество точек, образованное областью и ее границей, называется замкнутой областью .

Определение 25.13.

Множество называется ограниченным , если существует круг, внутри которого оно содержится.

Замечание 4 . Замкнутая ограниченная область, в которой определена функция двух переменных, является аналогом отрезка для функции одной переменной.

1) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то.

2) Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области, то она достигает в этой области своих точных граней.

3) Непрерывная в области функция принимает все свои промежуточные значения, т.е. если

Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки. Зададим переменнойв точкеприращение, оставляянеизменным, т.е. перейдем к точке, принадлежащей области(области определения функции).

Определение 26.1.

называется частным приращением по переменной в точке

Определение 26.2.

Если существует предел , то он называется частной производной функции в точкепо переменной.

Обозначение: .

Аналогично определяется

Если рассматривать частную производную по переменной в любой точке области определения функциина области, то частные производные можно рассматривать как новые функции на области.

Таким образом, частная производная функции двух переменных по переменной есть обычная производная одной переменнойпри фиксированном значении.

Пример 26.1.

Найти частные производные функций: ,,.

.

Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 26.3.

Пусть определена функция , тогда

- полное приращение функции.

Определение 26.4.

Пусть функция определена в окрестности точки.

Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

где -константы,-бесконечно малые функции при .

Теорема 26.1.

Если функция дифференцируема в точке, то онанепрерывна в этой точке.

Доказательство.

Очевидно из (26.1): .

Теорема 26.2 (необходимое условие дифференцируемости ).

Если функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные, причем:

. (26.2)

Доказательство.

Пусть имеет место формула (26.1).

Положим ,

где при- бесконечно малая функция.

Разделив на , и переходя к пределу при, получим:

то есть частная производная по переменной существует и равна.

Второе равенство доказывается аналогично.

Замечание 1 . Из непрерывности не следует ее дифференцируемость!

Пример 26.2.

непрерывна в точке (0,0), но не существует.

Аналогочно, не существует частной производной по . Следовательно, функция не дифференцируема.

Замечание 2. Из существования частных производных не следует дифференцируемость функции.

Пример 26.3.

Функция имеет частные производные в точке (0,0),

но не является в этой точке непрерывной, следовательно –

не дифференцируема.

Теорема 26.3 (достаточное условие дифференцируемости ).

Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точкии эти производные непрерывны в самой точке, то функция дифференцируема в точке.

Следствие.

Если частные производные непрерывны, то функция непрерывна.

Определение 26.5.

Если функция дифференцируема в точке, то дифференциаломназывается линейная относительно приращений часть полного приращения этой функции в точке, т.е.

, или

Дифференциалами независимых переменных называются их приращения

Производная сложной функции двух переменных

Пусть – функция двух переменныхи каждая из них является функцией от переменной:.

Тогда – сложная функция переменной.

Теорема 26.4.

Если функции дифференцируемые в точке,

–дифференцируема в точке , то сложная функциятакже дифференцируема в точке. При этом:

(26.4)

Пример 26.4.

2)

.

Замечание 3.

Если и, то.

Градие́нт (от лат.gradiens , род. падеж gradientis - шагающий, растущий) - вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.

Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.

Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат,,называется векторная функция с компонентами

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :

Если - функцияпеременных, то её градиентом называется-мерный вектор

компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.

Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещениядаетполный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть измененияпри смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказываетсяковариантным вектором , то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного ), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

линией уровня функции называется множество точек из ее области определения, в которых функция принимает одно и то же фиксированное значение. Градиентом функции f(x) называется вектор

Δf(x) = df ,…, df

dx 1 dx n

указывающий направление наиболее быстрого возрастания функции, и, стало быть, ориентированный перпендикулярно линиям уровня.

Для линейной функции двух переменных линия уровня представляет собой прямую, перпендикулярную вектору с , который служит градиентом данной функции. Следовательно, если линия уровня определяется уравнением f(x)=c 1 x 1 + c 2 x 2 =const , то этот вектоp имеет вид

и указывает направление возрастания функции.

Таким образом, с геометрической точки зрения задача максимизации сводится к определению такой точки области D , через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему из возможных значений. Последнее означает, что для нахождения точки экстремума в задаче линейного программирования мы должны сначала построить линию уровня для некоторого произвольного значения целевой функции. Затем необходимо осуществлять ее параллельное передвижение (так, чтобы она оставалась перпендикулярной вектору с ) до тех пор, пока не достигнем такой точки области допустимых планов D , из которой смещение в направлении вектора с было бы невозможно. Такой метод решения получил название графического . Заметим, что решение задачи поиска минимума линейной функции осуществляется аналогично, с той лишь разницей, что движение по линиям уровня должно производиться в направлении, обратном градиенту целевой функции, т. е. по вектору (-с ).

На рис. 1.1 изображен некоторый частный случай, для которого решение ЗЛП достигается в угловой точке х* = (0, 6) области D . Нетрудно представить, что возможны и другие варианты. Они изображены на рис. 1.2.

Рисунок (а ) иллюстрирует ситуацию неограниченности целевой функции f(x)=cx на множестве D , т.е. сколько бы мы ни перемещались по линиям уровня в направлении вектора с , ее значение будет возрастать.

В случае, изображенном на рисунке (b ), линия уровня, соответствующая максимальному значению f(x), касается грани множества D , и, соответственно, все точки, лежащие на этой грани, являются оптимальными планами.

Во всех рассмотренных иллюстрациях допустимые планы ЗЛП представлялись в виде некоторого многогранного выпуклого множества на плоскости. Такое их представление в литературе получило название первой геометрической интерпретации задачи линейного программирования .

Непрерывность функции

Функция двух переменных f (x, y), определенная в точке (x 0 , y 0) и в некоторой окрестности ее, называется непрерывной в точке (x 0 , y 0), если предел этой функции в точке (x 0 , y 0) равен значению этой функции f(x 0 , y 0), т.е. если

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Непрерывные функции двух переменных обладают свойствами, аналогичными свойствам непрерывных функций одной переменной.

Если в некоторой точке (x 0 , y 0) условие непрерывности не выполняется, то говорят, что функция f (x, y) в точке (x 0 , y 0) разрывна.

Дифференцирование функции двух переменных

Частные производные первого порядка

Еще более важной характеристикой изменения функции являются пределы:

Предел отношения

называется частной производной первого порядка функции z = f (x, y) по аргументу x (сокращенно - частной производной) и обозначается символами или или

Аналогично, предел

называется частной производной функции z =f (x, y) по аргументу y и обозначается символами или или.

Нахождение частных производных называется частным дифференцированием.

Из определения частной производной следует, что при нахождении ее по одному какому-нибудь частному аргументу, другой частный аргумент считается постоянной величиной. После выполнения дифференцирования, оба частных аргумента снова считаются переменными величинами. Говоря другими словами, частные производные и являются функциями двух переменных x и y.

Частные дифференциалы

Величина

называется главной линейной частью приращения? x f (линейной по отношению к приращению частного аргумента?x). Эта величинаназывается частным дифференциалом, и обозначается символом d x f.

Аналогично

Полный дифференциал функции двух переменных

По определению, полным дифференциалом функции двух переменных, обозначаемым символом d f, называется главная линейная часть полного приращения функции:

Полный дифференциал оказался равным сумме частных дифференциалов. Теперь формулу для полного дифференциала можно переписать так:

Подчеркнем, что формула для полного дифференциала получается в предположении, что частные производные первого порядка

непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y).

Функция, имеющая в точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Чтобы функция двух переменных была дифференцируемой в точке, недостаточно, чтобы она имела в этой точке все частные производные. Необходимо, чтобы все эти частные производные были непрерывными в некоторой окрестности рассматриваемой точки.

Производные и дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных z =f (x, y). Выше уже отмечалось, что частные производные первого

сами являются функциями двух переменных, причем их можно дифференцировать по x и по y. Получаем производные высшего (второго) порядка:

Частных производных второго порядка оказалось уже четыре. Без доказательства высказывается утверждение: Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они и равны:

Рассмотрим теперь дифференциал первого порядка

Он является функцией от четырех аргументов: x, y, dx, dy, могущих принимать различные значения.

Дифференциал второго порядка вычисляем как дифференциал от дифференциала первого порядка: в предположении, что дифференциалы частных аргументов dx и dy - постоянные величины:

Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М 0 (х 0 ;у 0), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке Мо, т. е.

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции.

71. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у - независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆хz. Итак, Δхz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у). Аналогично получаем частное приращение z по у: Δуz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у). Полное приращение Δz функции z определяется равенством Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у). Если существует предел , то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов: Частные производные по х в точке обычно обозначают символами Аналогично определяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у: . Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

72. Применение дифференциала функции нескольких(двух) переменных к приближенным вычислениям. Полным дифференциалом функции нескольких переменных можно пользоваться для приближенных вычислений. Пусть дана дифференцируемая функция .Её полное приращение выражается формулой . Здесь стремиться к 0 быстрее чем, . Поэтому при малых ρ, т.е. при малых , слагаемые можно пренебречь и написать: , т.е. приращение функции можно приближенно заменить ее полным дифференциалом. Так как , то подставляем это выражение для в формулу (1.) получим: , оттуда .Формулой (2) можно пользоваться при приближении вычеслениях значений функции двух переменных в точке близкой к точке P(x;y), если известны значения функции и ее части производных в самой точке P(x;y).

73. Частные производные первого порядка. Определение.Если существует конечный предел отношения частного приращения по x функции f(x,y,z) в точке M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) к вызвавшему его приращению Δx при Δx 0 , то этот предел называется частной производной по х функции u=f(x,y,z) в точке М 0 и обозначается одним из символов: По определению, Частные производные по у и по z определяются аналогично: Производные f" x ; f" y ; f" z называются ещё и частными производными первого порядка функции f(x,y,z), или первыми частными производными. Так как частное приращение Δxf(M 0)получается лишь за счет приращения независимой переменной x при фиксированных значениях других независимых переменных, то частная производная f" x (M 0) может рассматриваться как производная функции f(x 0 ,y 0 ,z 0) одного переменного x. Следовательно, чтобы найти производную по x, нужно все остальные независимые переменные считать постоянными и вычислять производную по x как от функции одного независимого переменного x. Аналогично вычисляются частные производные по другим независимым переменным. Если частные производные существуют в каждой точке области V, то они будут функциями тех же независимых переменных, что и сама функция.

74. Производная по направлению. Градиент. Пусть в некоторой области D задана функция и точка M(x,y,z). Проведем из точки M вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. . Будем предполагать, что функция u=u(x,y,z) и ее частные производные первого порядка непрерывны в области D. Предел отношения при называется производной от функции u=u(x,y,z)в точке M(x,y,z)по направлению вектора и обозначается , т.е. . Для нахождения производной от функцииu=u(x,y,z) в заданной точке по направлению вектора используют формулу: где – направляющие косинусы вектора , которые вычисляются по формулам: . Пусть в каждой точке некоторой области D задана функцияu=u(x,y,z) .Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции u=u(x,y,z) и обозначается или (читается «наблау»): . При этом говорят, что в области D определено векторное поле градиентов. Для нахождения градиента функции u=u(x,y,z) в заданной точке используют формулу: . Свойства градиента1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно . 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u, равна нулю.

75. Экстремум функции нескольких переменных. Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.Пусть функция z = f(x;у) определена в некоторой области D, точка N(x 0 ;y 0 ) Î D. Точка (х 0 ;у 0 ) называется точкой максимума функции z = f(x;y), если существует такая δ-окрестность точки (х 0 ;у 0 ), что для каждой точки (х;у), отличной от (х 0 ;у 0), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;у) (x 0 ;y 0). Аналогично определяется точка минимума функции: для всех точек (х;у), отличных от (x 0 ;y 0), из δ-ξкрестности точки (x 0 ;y 0) выполняется неравенство: f(x;y) > f(x 0 ;y 0). На рисунке 6: N 1 - точка максимума, а N 2 - точка минимума функции z = f(x;y) .Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумами. Необходимые условия экстремума: если функция z=f(x,y) имеет в точке M 0 (x 0 ,y 0) экстремум, то каждая частная производная первого порядка от z в этой точке или равна нулю , , или не существует. Точки, в которых частные производные и функции z=f(x,y) равны нулю или не существуют, называются критическими точками этой функции. Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (x 0 ;y 0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x 0 ;y 0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

76. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Функция z=f(x,y) имеет условный минимум(максимум) во внутренней точке M 0 (x 0 ,y 0) , если для любых точек М(х,у) из некоторой окрестности О(М 0), удовлетворяющий уравнению связи ϕ(х,у)=0, выполняется условие ∆f(x 0 ,y 0)=f(x,y)-f(x 0 ,y 0)≥0, (∆f(x 0 ,y 0)≤0). В общем случае эта задача приводится к отысканию обычного экстремума Лагранжа L(x,y,λ)=f(x,y)=λϕ(x,y) с неизвестным множителем Лагранжа λ. Необходимое условие экстремума функции Лагранжа L(x,y,λ) представляет собой систему из трех уравнений с тремя неизвестными x,y,λ: . Достаточным условием для экстремума ф-ии Лагранжа заключается в следующем утверждении ∆>0, то ф-ия z=f(x,y) в точке M 0 (x 0 ,y 0) имеет условный минимум, ∆<0- то условный максимум.

77. Числовые ряды. Основные понятия. Сходимость ряда. Числовым рядом называется выражение вида, где u 1 ,u 2 ,….,u n ,… – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда , u n - общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда u n , выраженный как функция его номера n: u n =f(n).Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S n , т.е. S n =u 1 +u 2 +…+u n . Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится .

78. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд. Теорема: Пусть числовой ряд u 1 +u 2 +…+u n +…, (1) сходиться, а S-его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u n стремиться к 0. Этот признак яв-ся необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, т.к. можно указать ряд, для которого выполняется равенство

На самом деле, если бы он сходился, то равнялся бы 0. Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S n , сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд расходиться так как . Гармонический ряд - сумма, составленная из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда: Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: {\displaystyle k}-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, - это основной тон, производимый струной длиной {\displaystyle {\frac {1}{k}}} от длины исходной струны.

Докажем для примера (7).

Пусть (x k , y k ) → (х 0 , у 0) ((x k , y k ) ≠ (х 0 , у 0)); тогда

(9)

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x k , y k ) стремится к (х 0 , у 0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x , y ) ∙φ (x , y ) в точке (х 0 , у 0).

Теорема. если функция f (x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0 , у 0), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х , у

< δ, (10)

она удовлетворяет неравенству

(12)

Поэтому для таких (x , y )

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x , y ) следует

откуда при A > 0 и при

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f (x ) = f (x 1 , …, x n ) = A имеет предел в точке

, равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f (x ) → A (x → x 0)), если она определена на некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x 0 последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0 .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0 предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

(13)

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x 0 | < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x 0 ) точки x 0 такая, что для всех х

U (x 0 ) , х ≠ x 0 , выполняется неравенство (13).

Очевидно, что если число А есть предел f (x ) в x 0 , то А есть предел функции f (x 0 + h ) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x 0 , кроме, быть может, точки x 0 ; пусть ω = (ω 1 , ..., ω п ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x 0 + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x 0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

(0 < t < δ ω)

от скалярной переменной t , где δ ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0 по направлению вектора ω.

Будем писать

, если функция f определена в некоторой окрестности x 0 , за исключением, быть может, x 0 , и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f (x ) | >N , коль скоро 0 < |x – x 0 | < δ.

Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:

(14)

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство

.

Итак, предел функции f (x ) = f (x 1 , ..., х п) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f (M ) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f (M ) – А | < ε.

Предел обозначают

В случае функции двух переменных

Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M ) и f 2 (M ) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом

Тогда

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом

Тогда

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x , y ) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:

(1)

Условие непрерывности т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x , y ) в точке (x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x , y )

и на этом языке определить непрерывность f в (x , y ) : функция f непрерывна в точке (x , y ) , если

(1"")

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 , у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

|f (x , y ) – f (х 0 , у 0) | = |с – с | = 0 0.

Следующими по сложности являются функции f (x , y ) = х и f (x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке (x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x , y ) может быть доказана так.