задания движения

Воспользуемся уравнением (4) и возьмем от него производную по времени

В (8) при единичных векторах стоят проекции вектора скорости на координатные оси

Проекции скорости на координатные оси определяются как первые производные по времени от соответствующих координат.

Зная проекции, можно найти модуль вектора и его направление

, (10)

Определение скорости при естественном способе

задания движения

Пусть дана траектория материальной точки и закон изменения криволинейной координаты. Предположим, при t 1 точка имел
а координатуs 1 , а при t 2 – координату s 2 . За время
координата получила приращение
, тогда средняя скорость точки

.

Для нахождения скорости в заданный момент времени перейдем к пределу

,

. (12)

Вектор скорости точки при естественном способе задания движения определяется как первая производная по времени от криволинейной координаты.

Ускорение точки

Под ускорением материальной точки понимают векторную величину, характеризующую быстроту изменения вектора скорости точки по величине и направлению с течением времени.

Ускорение точки при векторном способе задания движения

Рассмотрим точку в два момента времени t 1 (
) иt 2 (
), тогда
- приращение времени,
- приращение скорости.

Вектор
всегда лежит в плоскости движения и направлен в сторону вогнутости траектории.

Подсредним ускорением точки за время  t понимают величину

. (13)

Для нахождения ускорения в заданный момент времени перейдем к пределу

,

. (14)

Ускорение точки в данный момент времени определяется как вторая производная по времени от радиус-вектора точки или первая производная от вектора скорости по времени.

Вектор ускорения расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорение точки при координатном способе задания движения

Воспользуемся уравнением связи векторного и координатного способов задания движения

И возьмем от него вторую производную

,

. (15)

В уравнении (15) при единичных векторах стоят проекции вектора ускорения на координатные оси

. (16)

Проекции ускорения на координатные оси определяются как первые производные по времени от проекций скорости или как вторые производные от соответствующих координат по времени.

Модуль и направление вектора ускорения можно найти по следующим выражениям

, (17)

,
,
. (18)

Ускорение точки при естественном способе задания движения

П
усть точка движется по криволинейной траектории. Рассмотрим два ее положения в моменты времениt (s , M, v ) и t 1 (s 1 , M 1 , v 1).

Ускорение при этом определяется через его проекции на оси естественной системы координат, движущейся вместе с точкой M. Оси при этом направлены следующим образом:

M - касательная, направлена вдоль касательной к траектории, в сторону положительного отсчета расстояния,

Mn – главная нормаль, направлена по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости, и направлена в сторону вогнутости траектории,

Mb – бинормаль, перпендикулярна плоскости M n и образует с первыми осями правую тройку.

Так как вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, то a b = 0. Найдем проекции ускорения на другие оси.

. (19)

Спроектируем (19) на координатные оси

, (20)

. (21)

Проведем через точку M 1 оси параллельные осям в точке M и найдем проекции скорости:

где  - так называемый угол смежности.

Подставляем (22) в (20)

.

При  t  0  0, cos  1, тогда

. (23)

Касательное ускорение точки определяется первой производной по времени от скорости или второй производной по времени от криволинейной координаты.

Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине.

Подставим (22) в (21)

.

Умножим числитель и знаменатель на s чтобы получить известные пределы

где
(первый замечательный предел),

,
,

, где  - радиус кривизны траектории.

Подставляя вычисленные пределы в (24), получим

. (25)

Нормальное ускорение точки определяется отношением квадрата скорости к радиусу кривизны траектории в данной точке.

Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению и всегда направлено в сторону вогнутости траектории.

Окончательно получим проекции ускорения материальной точки на оси естественной системы координат и модуль вектора

, (26)

. (27)

Движение точки в пространстве можно считать заданным, если известны законы изменнеия трех ее декартовых координат x, y, z как функции времени. Однако в некоторых случаях пространственного движения материальных точек (например, в областях, ограниченных поверхностями различной формы) использование уравнений движения в декартовых координатах неудобно, так как они становятся слишком громоздкими. В таких случаях можно выбрать другие три независимых скалярных параметра $q_1,{\ q}_2,\ \ q_3$, называемых криволинейными, или обобщенными координатами, которые также однозначно определяют положение точки в пространстве.

Скорость точки М при задании ее движения в криволинейных координатах определится в виде векторной суммы составляющих скоростей, параллельных координатным осям:

\[\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_1}\dot{q_1}+\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_2}\dot{q_2}+\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_3}\dot{q_3}=v_{q_1}\overline{e_1}+v_{q_2}\overline{e_2}\ +v_{q_3}\overline{e_3}\]

Проекции вектора скорости на соответствующие координатные оси равны: $v_{q_i}=\overline{v\ }\cdot \overline{e_i}=H_i\dot{q_i}\ \ ,\ \ i=\overline{1,3}$

Здесь $H_i=\left|{\left(\frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial q_i}\right)}_M\right|$ - параметр, который называется i-м коэффициентом Ламе и равен значению модуля частной производной от радиус-вектора точки по i-ой криволинейной координате, вычисленной в данной точке М. Каждый из векторов $\overline{e_i}$ имеет направление, соответствующее направлению движения точки конца радиус-вектора $r_i$ при возрастании i-й обобщенной координаты. Модуль скорости в ортогональной криволинейной системе координат можно рассчитать по зависимости:

В приведенных формулах значения производных и коэффициентов Ламе вычисляют для текущего положения точки М в пространстве.

Координатами точки в сферической системе координат являются скалярные параметры r, ${\mathbf \varphi },\ {\mathbf \theta }$, отсчитываемые так, как показано на рис. 1.

Рисунок 1. Вектор скорости в сферической системе координат

Система уравнений движения точки в данном случае имеет вид:

\[\left\{ \begin{array}{c} r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end{array} \right.\]

На рис. 1 изображены радиус-вектор r, проведенный из начала координат, углы ${\mathbf \varphi }$ и ${\mathbf \theta }$, а также координатные линии и оси рассматриваемой системы в произвольной точке М траектории. Видно, что координатные линии $({\mathbf \varphi })$ и $({\mathbf \theta })$ лежат на поверхности сферы радиусом r. Данная криволинейная система координат также является ортогональной. Декартовы координаты могут быть выражены через сферические координаты так:

Тогда коэффициенты Ламе: $H_r=1;\ \ H_{\varphi }=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; проекции скорости точки на оси сферической системы координат $v_r=\dot{r\ \ };$ $v_{\theta }=r\dot{\theta }$; $\ v_{\varphi }=r\dot{\varphi }sin\theta $, а модуль вектора скорости

Ускорение точки в сферической системе координатат

\[\overrightarrow{a}=a_r{\overrightarrow{e}}_r+a_{\varphi }{\overrightarrow{e}}_{\varphi }+a_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta },\]

проекции ускорения точки на оси сферической системы координат

\ \

Модуль ускорения $a=\sqrt{a^2_r+a^2_{\varphi }+a^2_{\theta }}$

Задача 1

Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $\theta $ --- сферические координаты). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат.

Найдём проекции вектора скорости на оси сферических координат:

Модуль скорости $v=\sqrt{v^2_r+v^2_{\varphi }+v^2_{\theta }}=R\frac{k}{2}\sqrt{{sin}^2\frac{kt}{2}+1}$

Задача 2

Используя условие задачи 1, определить модуль ускорения точки.

Найдём проекции вектора ускорения на оси сферических координат:

\ \ \

Модуль ускорения $a=\sqrt{a^2_r+a^2_{\varphi }+a^2_{\theta }}=R\frac{k^2}{4}\sqrt{4+{sin}^2\frac{kt}{2}}$

Формулы для вычисления скорости точки, ускорения, радиуса кривизны траектории, касательной, нормали и бинормали по заданным зависимостям координат от времени. Пример решения задачи, в которой по заданным уравнениям движения нужно определить скорость и ускорение точки. Также определяется радиус кривизны траектории, касательная, нормаль и бинормаль.

Введение

Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки ”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.

Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки - это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):

Определение кинематических величин

Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле:
,
где - единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат:
;
;
Модули скорости и ускорения:
;
.

.

Тангенциальное (касательное) ускорение - это проекция полного ускорения на направление скорости:
.
Вектор тангенциального (касательного) ускорения:

Нормальное ускорение:
.
; .
Единичный вектор в направлении главной нормали траектории:
.

Радиус кривизны траектории:
.
Центр кривизны траектории:
.

.

Пример решения задачи

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Уравнения движения точки:
, см;
, см.

Решение

Определение вида траектории

Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде:
; .
Применим формулу:
.
;
;
;
.

Итак, мы получили уравнение траектории:
.
Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .

Поскольку
, то
; или
.
Аналогичным образом получаем ограничение для координаты :
;
;

Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы
,
расположенная при
и .

Строим параболу по точкам.

Определяем положение точки в момент времени .
;
.

Определение скорости точки

Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости.
.
Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии :
. Тогда
;
.

Вычисляем значения компонент скорости в момент времени :
;
.
Модуль скорости:
.

Определение ускорения точки

Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки.
;
.

Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени :
;
.
Модуль ускорения:
.

Тангенциальное ускорение - это проекция полного ускорения на направление скорости :
.
Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .

Нормальное ускорение:
.
Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории:
.

Траекторией движения точки является дуга параболы
; .
Скорость точки: .
Ускорение точки: ; ; .
Радиус кривизны траектории: .

Определение остальных величин

При решении задачи мы нашли:
вектор и модуль скорости:
; ;
вектор и модуль полного ускорения:
; ;
тангенциальное и нормальное ускорения:
; ;
радиус кривизны траектории: .

Определим остальные величины.

Единичный вектор в направлении касательной к траектории:
.
Вектор тангенциального ускорения:

.
Вектор нормального ускорения:

.
Единичный вектор в направлении главной нормали:
.
Координаты центра кривизны траектории:

.

Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе
; .
Единичный вектор в направлении бинормали:


.