Некоторое время назад на сайте препринтов arXiv.org появилось сразу две работы, посвященные задаче о плотнейшей упаковке шаров в пространствах размерности 8 и 24. До настоящего момента аналогичные результаты были известны только для размерностей 1, 2 и 3 (причем тут не все так просто, но об этом ниже). Прорыв - а речь идет про настоящий революционный прорыв - стал возможен благодаря работам Марины Вязовской, математика украинского происхождения, которая сейчас работает в Германии. Мы расскажем историю этого достижения в десяти коротких сюжетах.

1.

В XVI веке в Англии проживал известный придворный деятель и поэт сэр Уолтер Рэли. Знаменит он был, в первую очередь тем, что, однажды, бросил перед королевой в лужу свой дорогой плащ, чтобы Ее Величество на испачкало ног. Но нам он интересен не поэтому.

Была у сэра Уолтера Рэли страсть - очень он любил грабить испанские суда и искать Эльдорадо. И вот однажды увидел Рэли на корабле кучу сложенных ядер. И подумал (случалось такое с британскими придворными), мол, было бы неплохо, если бы можно было бы узнать, сколько ядер в куче, не пересчитывая их. Польза от такого знания, особенно если тебе нравится грабить испанский флот, очевидна.

Уолтер Рэли

Сам Рэли был в математике не очень, поэтому он задал эту задачку своему помощнику Томасу Хэрриоту. Тот, в свою очередь, был в математике силен (Хэрриот, кстати, является изобретателем знаков «>» и «<» для сравнения численных величин), поэтому довольно быстро решил эту задачу. Но Хэрриот был хорошим математиком, поэтому он задался вопросом: а как лучше всего укладывать ядра? Сам он немного подумал, но решить задачу не смог.

За комментариями он обратился к известному математику своего времени Иоганну Кеплеру - в то время помощнику Тихо Браге. Кеплер ответа не дал, но задачку запомнил. В 1611 году он опубликовал небольшую брошюрку, в которой обсуждал четыре вопроса: почему соты у пчел шестиугольные, почему лепестки цветов чаще всего группируются пятерками (Кеплер, вероятно, имел в виду только розоцветных - прим. N + 1 ), почему зерна граната имеют форму додекаэдров (пусть и неправильных) и почему, наконец, снежинки имеют форму шестиугольников.

Иоганн Кеплер

Брошюрка предназначалась в подарок, поэтому была скорее философским и развлекательным чтивом, нежели настоящей научной работой. Ответ на первый вопрос Кеплер связывал с двумя условиями - между сотами не должно быть пробелов, а сумма площадей ячеек должна быть минимальной. Второй вопрос автор связал с числами Фибоначчи, а разговор о снежинках натолкнул Кеплера на рассуждения об атомарных симметриях.

Третий же вопрос породил гипотезу о том, что гексагональная плотная упаковка (она на картинке ниже) является плотнейшей (что значит это в математическом смысле тоже ниже). Разумеется, на Хэрриота Кеплер сослаться не посчитал нужным. Поэтому это утверждение получило название гипотезы Кеплера. Закон Стиглера - он же принцип Арнольда - в действии.

Да, через 7 лет после выхода этой брошюрки сэру Уолтеру Рэли отрубили голову. Впрочем, с задачей о плотной упаковке это никак не было связано.

2.

По современным меркам задача, которую решал Хэрриот, была несложной. Поэтому разберем ее подробнее. А заодно и лучше поймем, как устроена гексагональная плотная упаковка.

Итак, главное условие, чтобы куча ядер не раскатилась во время качки. Итак, выкладываем ядра в ряд на палубе. В следующий ряд кладем ядра так, чтобы шары размещались в щелях между сферами первого ряда. Если в первом ряду n шаров, то во втором n - 1 (потому что щелей между шарами на единицу меньше, чем самих шаров). Следующий ряд будет еще на единицу меньше ядер. И так далее, пока мы не получим вот такой треугольник (если смотреть на раскладку сверху):

Те, кто помнит, что такое арифметическая прогрессия, легко сосчитают, что, если в первом ряду было n шаров, то всего в таком треугольнике n(n + 1)/2 шаров. Если смотреть сверху, то между шарами есть удобные выемки. Туда и будем складывать второй слой шаров. Получится треугольник, организованный как первый, только у которого на единицу меньше шаров в стороне. Значит, мы положили в кучу еще n(n - 1)/2 шара.

Продолжим выкладывать слои до тех пор, пока не получим слой из одного шара. Получили треугольную пирамиду из ядер. Чтобы узнать, сколько в ней всего ядер, нужно сложить количества ядер в каждом слое. Если первый слой был со стороной n, то получим n слоев, которые в сумме дадут n(n + 1)(n + 2)/6. Пытливый читатель заметит, что это в точности биномиальный коэффициент C 3 n + 2 . Это комбинаторное совпадение тут неспроста, но углубляться мы в него не будем.

Кстати, помимо этой задачи Хэрриот смог определить, какую примерно долю занимают ядра в достаточно большом контейнере, если принять форму последнего за куб. Оказалось, что доля составляет π/(3√2) ≈ 0,74048.

3.

Что значит слово плотнейшая в формулировке задачи? Рэли, Хэрриот, да и сам Кеплер не давали на это точного ответа. Подразумевалась плотнейшая в каком-то разумном смысле. Однако, для математики такая формулировка не подходит. Ее надо уточнить.

Давайте сначала спустимся на размерность ниже и посмотрим, как все устроено на плоскости. Для двумерного случая задача превращается в такую: пусть на плоскости задан бесконечный набор непересекающихся по внутренней части (но, возможно, соприкасющихся - то есть имеющих общую точку на границе) кругов. Нарисуем квадрат. Посчитаем сумму площадей попавших внутрь квадрата кусков кругов. Возьмем отношение этой суммы к площади квадрата, и будем увеличивать сторону квадрата, смотря за изменением соотношения.

Мы получаем функцию f(a) , где a - сторона квадрата. Если нам повезло, то эта функция с ростом аргумента будет приближаться асимптотически к некоторому числу. Это число называется плотностью данной упаковки. Важно, что сама функция в какой-то момент может давать значение большее плотности. Действительно, если квадрат маленький, то целиком помещается в круге и определенное отношение равно 1. Но нас интересует плотность в среднем, то есть, говоря неформально «для квадрата с достаточно большой стороной».

Среди всех таких плотностей можно найти максимальную. Именно она, а также упаковка, ее реализующая, и будет называться плотнейшей.

«Плотнейшая упаковка не обязательно единственная (в асимптотическом смысле). Плотнейших упаковок в 3х-мерном пространстве - бесконечно много, и это знал еще Кеплер,» - говорит Олег Мусин из Техасского университета в Браунсвилле.

После того, как мы определили понятие плотнейшая упаковка, легко понять, что такое определение легко распространить на пространство произвольной размерности n. Действительно, заменим круги на шары соответствующей размерности, то есть множества точек, расстояние от которых до фиксированной (называемой центром) не превосходит некоторой величины, называемой радиусом шара. Снова расположим их так, чтобы любые два в лучшем случае касались, в худшем - вообще не имели общих точек. Определим такую же, как и в предыдущем случае, функцию, взяв объем n-мерного куба и сумму объемов соответствующих n-мерных шаров.

4.

Итак, мы поняли, что гипотеза Кеплера - это задача о плотнейшей упаковке трехмерных шаров в трехмерном пространстве. А что там с плоскостью (раз уж мы с нее начали)? Или даже с прямой? С прямой все просто: шар на прямой - это отрезок. Прямую можно полностью покрыть одинаковыми отрезками, пересекающимися по концам. При таком покрытии функция f(a) постоянна и равна 1.

На плоскости все оказалось несколько сложнее. Итак, пусть для начала на плоскости задано множество точек. Мы говорим, что это множество точек образует решетку, если можно найти пару векторов v и w таких, что все точки получаются как N*v + M*w, где N и М - целые числа. Аналогичным образом решетку можно определить в пространстве сколь угодно большой размерности - просто потребуется больше векторов.

Решетки важны по многим причинам (например, именно в узлах решетки предпочитают располагаться атомы, когда речь идет о твердых материалах), но для математиков они хороши тем, что очень удобны для работы. Поэтому из всех упаковок отдельно выделяют класс, в которых центры шаров располагаются в узлах решетки. Если ограничиться таким случаем, то на плоскости существует всего пять типов решеток. Плотнейшую упаковку из них дает так, в которой точки расставлены в вершинах правильных шестиугольников - как соты у пчел или атомы у графена. Этот факт был доказан Лагранжем в 1773 году. Точнее так: Лагранж не интересовался плотными упаковками, а интересовался квадратичными формами. Уже в XX выяснилось, что из его результатов про формы вытекает результат о плотности упаковки для двумерных решеток.

«В 1831 году Людвиг Зибер написал книгу о тернарных квадратичных формах. В этой книге была выдвинута гипотеза, которая эквивалентна гипотезе Кеплера для решетчатых упаковок. Сам Зибер сумел доказать только слабую форму своей гипотезы и проверить ее для большого числа примеров. Рецензию на эту книгу написал великий Карл Фридрих Гаусс. В этой рецензии Гаусс приводит воистину удивительное доказательство, которое уместилось в 40 строк. Это, как мы сейчас говорим, „олимпиадное“ доказательство доступно для понимания школьнику старших классов. Многие математики пытались найти скрытый смысл в доказательстве Гаусса, но пока никто не преуспел,» - говорит Олег Мусин.

Что будет, однако, если отказаться от условия сетчатости? Здесь все оказывается несколько сложнее. Первую полноценную попытку разобраться с этим случаем предпринял норвежский математик Аксель Туэ. Если заглянуть на страничку, посвященную Туэ в Википедии, то ничего про плотную упаковку мы там не найдем. Оно и понятно - Туэ опубликовал две работы, больше напоминающие эссе, чем нормальные математические работы, в которых, как ему казалось, полностью решил задачу о плотной упаковке. Проблема была только в том, что никого, кроме самого Туэ, его рассуждения не убедили.

Ласло Фейеш Тот

Danzer, Ludwig / Wikimedia Commons

Окончательно задачу решил венгерский математик Ласло Фейеш Тот в 1940 году. Оказалось, кстати, что расположение окружностей на плоскости, реализующее наиболее плотную упаковку единственно.

5.

С задачей о плотной упаковке тесно связана задача о контактном числе. Давайте снова рассмотрим круг на плоскости. Сколько вокруг него можно расположить кругов такого же радиуса, чтобы все они касались центрального? Ответ шесть. Действительно, посмотрим на два соседних круга, соприкасающихся с нашим центральным. Посмотрим на расстояние от центра центрального круга до центров этих двух. Оно равно 2R , где R - радиус круга. Расстояние между центрами соседних кругов не превосходит 2R. Вычисляя угол при центре центрального круга по теореме косинусов получаем, что он не меньше 60 градусов. Сумма всех центральных углов должна давать 360 градусов, значит таких углов может быть не больше 6. А расположение кругов с шестью углами мы знаем.

Полученное число называется контактным числом плоскости. Аналогичный вопрос можно задать для пространств любой размерности. Пусть простота решения на плоскости не вводит читателя в заблуждение - задача о контактных числах если и проще задачи о плотной упаковке, то не сильно. Но результатов в этом направлении действительно получено больше.

Для трехмерного пространства контактное число стало предметом публичного спора между самим Исааком Ньютоном и Джеймсом Грегори в 1694 году. Первый считал, что контактное число должно быть 12, а второй - что 13. Штука в том, что 12 шаров вокруг центрального расположить несложно - центры таких шаров лежат в вершинах правильного икосаэдра (их у него как раз 12 штук). Но эти шары не соприкасаются! На первый взгляд кажется, что их можно подвинуть так, чтобы пролез еще един, 13-ый шар. Это почти правда: если шары чуть-чуть раздвинуть, сделав расстояние между их центрами и центром центрального не 2R, а всего 2.06R, то 13 шаров уже поместятся. Но для касающихся шаров Грегори был неправ - этот факт доказали ван дер Ваарден и Шютте в 1953 году.

Для размерности 4 эта задача была решена Олегом Мусиным в 2003 году. Там контактное число оказалось равно 24.

6.

Помимо этих размерностей 1, 2, 3 и 4 контактные числа известны еще в размерностях 8 и 24. Почему именно эти размерности? Дело в том, что для них существуют очень интересные решетки, называемые E8 и решетка Лича.

Итак, мы уже выяснили, что такое решетка. Важной характеристикой решетки для математики является ее симметричность. Под симметричностью понимается, конечно, не субъективные ощущения (да и кто эту решетку в размерности, например, четыре и представит?), а количество различных типов движений пространства, которые эту решетку в себя переводят. Поясним на примере.

Возьмем ту самую гексагональную решетку, которая реализует плотнейшую упаковку на плоскости. Легко понять, что решетка переходит в себя, если сдвигать ее на вектора v и w, которые были в определении. Но, помимо этого, решетку можно вращать вокруг центра шестиугольника. И вращений таких целых 6 штук: на 0, 60, 120, 180, 240, 300 градусов. Кроме этого решетку можно отображать симметрично относительно любой оси симметрии составного шестиугольника. Небольшое упражнения показывает, что, не считая сдвигов, мы получаем 12 преобразований. В других решетках таких преобразований меньше, поэтому мы говорим, что они менее симметричные.

Так вот, E8 и решетка Лича - это невероятно симметричные решетки. E8 располагается в 8-мерном пространстве. Эту решетку в 1877 году придумали российские математики Коркин и Золотарев. Она состоит из векторов, все координаты которых целые числа, а их сумма - четная. У такой решетки за вычетом сдвигов 696 729 600 преобразований. Решетка Лича существует в двацатичетырехмерном пространстве. Она состоит из векторов с целыми координатами и условием - сумма координат минус любая координата, помноженная на 4, делится на 8. У нее просто колоссальное количество симметрий - 8 315 553 613 086 720 000 штук.

Так вот, в 8-мерном и 24-мерном пространстве шары, расположенные в вершинах этих самых решеток, касаются 240 и 19650 шаров соответственно. Удивительно, но именно это и есть контактные числа (смотри пункт 5) для пространств соответствующей размерности.

7.

Теперь вернемся к трехмерному случаю и гипотезе Кеплера (той самой, о которой мы говорили в самом начале). Эта задача оказалась в разы сложнее своих предшественников.

Начнем с того, что существует бесконечно много упаковок с той же плотностью, что и гексагональная плотная. Мы начинали ее выкладывать, стартуя с шаров, разложенных в узлах гексагональной решетки. Но можно поступить по-другому: например, на первом уровне сложить шары квадратом, то есть так, чтобы вершины шаров располагались в узлах уже квадратной решетки. В таком случае каждый шар касается четырех соседей. Второй слой, как и в случае с гексагональной, будем класть сверху в щели между шарами первого слоя. Такая упаковка называется гранецентрированной кубической упаковкой. Это, кстати, единственная плотнейшая решетчатая упаковка в пространстве.

На первый взгляд, кажется, что эта упаковка должна быть хуже, ведь щели между четырьмя шарами в первом слое сильно больше (по ощущениям), чем щели в гексагональной плотной упаковке. Но, когда мы кладем второй ряд, шары - именно из-за того, что щели больше - погружаются глубже. В результате, как оказывается, плотность оказывается такой же как и раньше. На самом деле, конечно, трюк в том, что такая упаковка получается, если на гексагональнаую посмотреть под другим углом.

Получается, что в трехмерном пространстве нет таких прекрасных уникальных решеток, как, например, гексагональная на плоскости или E8 в 8-мерном пространстве. На первый взгляд, совершенно непонятно, как как искать плотнейшую упаковку в трехмерном пространстве.

8.

Решение гипотезы Кеплера рождалось в несколько этапов.

Сначала Фейеш Тот, тот самый венгр, который решил задачу о плотной упаковке не плоскости, высказал такую вот гипотезу: для того, чтобы понять, плотнейшая упаковка или нет, достаточно рассматривать конечные кластеры шаров. Как мы выяснили, в отличие от плоскости, если центрального шара касается 12 соседей, то между ними есть щели. Поэтому Фейеш Тот предложил изучать кластеры, состоящие из центрального шара, его соседей, и соседей соседей.

Штука в том, что это предположение было сделано в 60-е году прошлого века. А задача о минимизации объема такого кластера - это по сути нелинейная оптимизационная задача на функцию из примерно 150 переменных (у каждого шара есть центр, он задается тремя координатами). Грубо говоря, у такой функции нужно найти минимум при некоторых дополнительных условиях. С одной стороны задача стала конечной, но с другой - совершенно неподъемной с вычислительной точки зрения для человека. Но Фейеш Тот не расстроился и заявил, что очень скоро нужной вычислительной мощностью будут обладать компьютеры. Они-то и помогут.

Гипотеза Фейеша Тота очень понравилась математикам и они начали активно работать в этом направлении. К началу 90-х годов оценки на максимальную плотность упаковки шаров в трехмерном пространстве постепенно снижались. Идея была в том, что в какой-то момент оценка окажется равной плотности гранецентрированной кубической упаковки и, значит, гипотеза Кеплера будет доказана. В это время математик Томас Хейлз опубликовал свои первые работы по упаковке. Для работы он выбрал объект, называемый звездами Делоне (в честь советского математика Бориса Делоне). Это был смелый шаг - в тот момент эффективность таких объектов для изучения задачи об упаковке была сомнительной.

Всего через 8 лет упорного труда, в 1998 году, Хейлз завершил доказательство гипотезы Кеплера. Он свел доказательство к конечному комбинаторному перебору разных структур типа звезд Делоне. Для каждой такой комбинаторной структуры необходимо было максимизировать плотность. Так как компьютер работает нормально только с целыми числами (просто потому что в математике числа - это чаще всего бесконечные дроби), то для каждого случае Делоне автоматически строил приближение сверху с помощью символьных рациональных вычислений (рациональные числа, ведь, если не переводить их в десятичные дроби, просто пара целых). При таком приближении он получал оценку на максимум плотности сверху. В результате все оценки оказались меньше той, которую давала гранецентрированная кубическая упаковка.

Многих математиков, правда, смутила ситуация, в которой для построения приближения строился компьютер. Чтобы доказать, что в компьютерной части доказательства у него нет ошибок, Хейлз занялся формализацией и проверкой, правда, тоже с помощью компьютера. Эта работа, над которой работала довольно большая международная группа, была завершена в августе 2014 года. В доказательстве ошибок найдено не было.

9.

Доказательства для размерности 8 и 24 не требуют компьютера и, отчасти, проще. Некоторое время назад для оценки максимальной плотности упаковок в этих размерностях были получены очень хорошие оценки. Это сделали математики Кон и Элкиес в 2003 году. Кстати, эту оценку (ее еще называют границу Кона - Элкиеса) за пару лет до самих Кона и Элкиеса нашел российский математик Дмитрий Горбачев из Тулы. Однако, он опубликовал эту работу на русском и в тульском журнале. Кон и Элкиес об этой работе не знали, а когда им сказали, то они, кстати, на нее сослались.

«Граница Кона - Элкиеса появилась на основе работ Жан Фредерика Дельсарта и наших замечательных математиков Григория Кабатянского и Владимира Левенштейна. Асимптотическая (по размерности пространства) оценка плотности упаковок шаров в n-мерном пространстве, полученная Кабатянским и Левенштейна, „держится“ с 1978 года. Кстати, это Левенштейн и независимо американцы Одлыжко и Слоэн решили задачу контактных чисел в размерности 8 и 24 в 1979 году. Они напрямую использовали метод Дельсарта - Кабатянского - Левенштейна» - говорит Олег Мусин.

Оценки Кона и Элкиеса, на самом деле, верны для всех упаковок, но вот в размерности 8 и 24 они дают очень хорошее приближение. Например, полученная математиками оценка всего примерно на 0,0001 процента больше, чем плотность E8 в восьмимерном пространстве. Поэтому возникла задача улучшить эту оценку - ведь решение, казалось бы, уже рядом. Более того, в 2012 году тот же Дмитрий Горбачев подал заявку (и выиграл) на грант фонда «Династия». В заявке он прямо заявлял, что планирует доказать плотность упаковки E8 в восьмимерном пространстве.

Говорят, что на столь смелое заяление Горбачева подтолкнул другой математик, Андрей Бондаренко, по сути - наставник, один из научных руководителей Марины Вязовской, той самой, которая решила задачу для 8-мерного пространства (и в соавторстве, для 24-мерного). Именно Бондаренко она благодарит в конце своей прорывной работы. Так вот, у Бондаренко и Горбачева не получилось, а у Вязовской получилось. Почему же?

Марина Вязовская

Humboldt University of Berlin

Оценка Кона - Элкиеса связывает плотность упаковки со свойством некоторой функции из подходящего множества. Грубо говоря, по каждой такой функции строится оценка. То есть основная задача: найти подходящую функцию, чтобы та оценка, которая получается, оказывалась нужной нам. Так вот, ключевым ингридиентом в построении Вязовской являются модулярные формы. Мы уже упоминали их применительно к доказательству Великой теоремы Ферма, за которую . Это довольно симметричный объект, который постоянно возникает в самых разных разделах математики. Именно этот инструментарий и позволил найти нужную функцию.

В 24-мерном пространстве оценка была получена тем же способом. У этой работы больше авторов, но в основе лежит то же самое достижение Вязовской (пусть, конечно, и немного адаптированное). Кстати, в работе доказан еще один замечательный факт: решетка Лича реализует единственную периодическую плотнейшую упаковку. То есть все остальные периодические упаковки имеют плотность меньше этой. По мнению Олега Мусина, аналогичный результат для периодических упаковок может быть верен в размерностях 4 и 8.

10.

С точки зрения приложений задача о плотной упаковке в пространствах большой размерности - это задача, в первую очередь, об оптимальном кодировании с исправлением ошибок.

Представим, что Алиса и Боб пытаются наладить общение, используя радиосигналы. Алиса говорит, что будет слать Бобу сигнал, состоящий из 24 различных частот. Боб будет измерять амплитуду каждой частоты. В результате у него получится набор из 24 амплитуд. Они, конечно, задают точку в 24-мерном пространстве - ведь их 24 штуки. Боб и Алиса берут, скажем, словарь Даля и присваивают каждому слову свой набор из 24 амплитуд. Получается, что мы закодировали слова из словаря Даля точками 24-мерного пространства.

В идеальном мире больше ничего и не нужно. Но реальные каналы передачи данных добавляют шумов, а, значит, во время раскодировки Боб может получить набор амплитуд, который не соответствует ни одному слову. Но тогда он может посмотреть на ближайшее к расшифрованному варианту слово. Если таковое одно, то, значит, скорее всего это оно и есть. Чтобы всегда можно было такое сделать, нужно, чтоб точки пространства располалаглись как можно дальше друг от друга. То есть, например, если уровень шума таков, что вносится искажение, сдвигающее результат на вектор длины не больше один, то две точки кода должны быть точно на расстоянии не меньше двух. Тогда, даже с искажениями, результат у Боба всегда будет близок к одному единственному слову - тому, которое и нужно.

При этом раздувать множество слов тоже не очень хочется - у нас довольно ограниченные диапазон, в котором мы можем передавать информацию. Скажем, будет странно (да и не очень эффективно), если Алиса и Боб начнут общаться в рентгеновском диапазоне. Поэтому в идеале, расстояние между соседними словами кода должно быть в точности два. А это и означает, что слова располагаются в вершинах шаров, радиуса 1, плотно упакованных в 24-мерном пространстве.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБРАЗ ЧЕТЫРЁХМЕРНОГО ШАРА.

Егоров Нестер Александрович

студент 4 курса, кафедра алгебры и геометрии ИМИ СВФУ, РФ, г. Якутск

E - mail : egrvnester @ mail . ru

Попов Олег Николаевич

научный руководитель, канд. техн. наук, доцент ИМИ СВФУ, РФ, г. Якутск

В настоящей работе дается представление четырехмерного шара в четырехмерном пространстве с помощью его трехмерных сечений. Для объяснения трудностей, связанных с восприятием объектов четырёхмерного пространства, используется метод, который основан на рассмотрении пространств с более низкой размерностью. Актуальность данного подхода заключается в том, что он позволяет понять строение геометрических образов четырехмерного пространства, а также способствует развитию пространственного и абстрактного мышления. Данная работа представляет интерес для учащихся старших классов, студентов факультетов математических и естественных наук, а также учителей математики. Она излагается наглядным методом, без использования формул, на основе лишь школьного курса геометрии.

В научной и популярной литературе, в средствах массовой информации, часто упоминаются многомерные пространства и объекты. Существуют различные теории о многомерности нашей Вселенной. Человеку свойственно геометрические объекты представлять в наглядной форме. Поэтому многие, услышав словосочетание «четырёхмерный шар», сразу же пытаются наглядно представить его в своём воображении. Мы хорошо представляем двумерный шар (это круг, лежащий на плоскости), трёхмерный шар - объект, который часто встречается в нашей жизни. Но в четырёхмерном случае, мы никак не можем построить в нашем воображении геометрический образ четырёхмерного шара. Это связано с появлением четвёртого, недоступного для нас, измерения.

Формирование на интуитивном уровне понятного читателю представления о геометрическом образе четырёхмерного шара является целью нашей работы. В ней не используются строгие определения, математические формулы. Все используемые понятия, термины понимаются только интуитивно. Весь материал излагается в популярной форме.

Актуальность работы состоит в том, что она позволяет понять строение геометрических образов четырехмерного пространства, а также способствует развитию пространственного и абстрактного мышления и представляет интерес для учащихся старших классов, студентов факультетов математических и естественных наук, а также учителей математики.

Рисунок 1. а) Прямая четырехмерном пространстве пересекает трехмерный шар только в одной внутренней точке; б) Прямая на плоскости пересекает двумерный шар по отрезку; в) Прямая, расположенная в пространстве, пересекает двумерный шар только в одной точке

Четырехмерное пространство в некоторой степени является необычным пространством. Мы знаем, что в трёхмерном пространстве прямая линия пересекает ограниченный трёхмерный выпуклый объём (например, шар) по отрезку. Исключение составляет случай, когда прямая линия касается данного объекта. В четырехмерном пространстве всё может происходить иначе. Прямая линия может «пронзить» трёхмерный шар насквозь, задев только одну внутреннюю точку, не потревожив её окружение (рис. 1, а)). Это делает возможным для четырёхмерного человека (если бы он существовал) забрать все наши вещи из сумки, не раскрывая и не разрезая её, что кажется очень необычным и необъяснимым. Чтобы понять это, рассмотрим двумерное пространство (двумерное пространство - это плоскость, вложенная в трёхмерное пространство). Прямая на плоскости будет пересекать круг, расположенный в плоскости по отрезку, а прямая пространства, лежащая вне плоскости, пересечёт круг только в одной точке (рис. 1, б), с)).

Чтобы эпизод пропажи вещей из сумки был более понятным, нарисуем на доске двумерного человека, нарисуем его почки, камень в почке. Затем возьмём в руки тряпку и аккуратно, не задевая почки двумерного человека, сотрём камень (рис. 2). Теперь можем поздравить самого себя с тем, что мы только что успешно произвели операцию по удалению камня из почки без использования разрезов, и что наш пациент здоров. То, что неподвластно двумерному хирургу, оказалось простым делом для обычного трёхмерного человека.

Рисунок 2. Удаление камня из двумерной почки трехмерным доктором без резервов

Далее мы будем пользоваться данным приемом, связанным с переходом на размерность ниже для объяснения трудностей, связанных с восприятием объектов, находящихся в четырёхмерном пространстве. Трудности восприятия двумерного человека, когда он пытается понять трёхмерный мир, аналогичны нашим при восприятии четырёхмерного пространства, так как они связаны в обоих случаях появлением нового недоступного измерения.

Два трёхмерных пространства могут пересекаться или быть параллельными в четырёхмерном пространстве. Рассмотрим случай, когда они пересекаются.

Рисунок 3. Два трехмерных пространства пересекаются в четырехмерном пространстве по плоскости

Если две плоскости x и y пересекаются по прямой l (рис. 4), то трёхмерные пространства P и Q пересекаются по плоскости α (рис. 3). Для двумерного человека прямая l (если она непрозрачна) будет стеной, разделившей его мир на две части. А полуплоскости y 1 и y 2 для него не существуют, так как находятся в недоступном для него, третьем измерении. Для трёхмерного человека такой стеной, разбивающей всё пространство на две части, будет плоскость α (рис. 3).

Далее, рассмотрим две пересекающиеся плоскости x и y, по одной из которых катится двумерный мяч (рис. 4). Заметим, что двумерный человек видит только прямую l из плоскости y, так как она находится в его пространстве x. Полуплоскости y 1 и y 2 ему невидимы, поэтому двумерный человек, находящийся в плоскости x увидит точку (плоский мяч коснулся прямой), которая затем раздвоится (мяч пересёк прямую). Далее, по мере движения мяча, точки будут расходиться, пока прямая пересечения плоскостей не совпадет с диаметром мяча, затем всё будет происходить в обратном порядке.

Рисунок 4. Двумерный человек видит только точку касания круга с его плоскостью

Теперь нетрудно понять, что мы увидим, находясь в трёхмерном пространстве P, в случае, когда мяч, запущенный ногой футболиста, находящегося в Q, пересечёт наше пространство. Вначале на плоскости α. появится точка, которая сразу же преобразуется в постепенно увеличивающуюся окружность, являющуюся пересечением плоскости α и мяча. Достигнув своего максимума, при радиусе равном радиусу футбольного мяча, она постепенно начнет уменьшаться до тех пор, пока не выродится обратно в точку и исчезнет с поля зрения (рис. 5). Что же мы увидим, когда вслед за мячом пробежит сам футболист, оставим вообразить читателю. Для интереса же представим, что произойдет, если футболист, каким-то невероятным способом, находясь в пространстве Q, случайно свернёт в наше пространство P (см. рис. 6).

Рисунок 5. Вид мяча, пересекшего пространство наблюдателя, в динамике

Рисунок 6. Пявление футболста в пространстве P из пространства Q

В двумерном варианте легко представить две параллельные плоскости. Трёхмерное пространство можно представить как бесконечную совокупность параллельных «слипшихся» плоскостей. Такое представление можно получить, глядя на колоду карт, где каждая карта ассоциируется с плоскостью или книгой, где роль плоскостей выполняют листы данной книги.

Четырёхмерное пространство тоже представляет совокупность «слипшихся», но уже трехмерных параллельных пространств. Попытайтесь представить в своём воображении два параллельных (слипшихся), т. е. расположенных очень близко друг к другу, трёхмерных пространства. У вас ничего не получится. Пространства, которые мы хотим представить в своём воображении, либо начинают пересекаться, либо не хотят сближаться, отталкиваясь друг от друга. Разберёмся в причине нашей неудачи. Для этого проанализируем, как попытается представить двумерный человек, живущий в плоскости x, две очень близко лежащие друг к другу параллельные плоскости y и z. Так как для двумерного человека не существует третьего измерения h (рис. 7а)), то он будет вынужден расположить их в своем пространстве, хотя в реальности они будут располагаться перпендикулярно (или под некоторым углом) пересекая плоскость x (рис. 7б)). Теперь сразу же становится очевидным, в чём состоит причина нашей неудачи. Мы пытаемся поместить два трёхмерных пространства в одно трехмерное пространство, в котором находимся (рис. 7с)), когда же они должны простираться по четвёртому, недоступному нам измерению. Понятно, что они никак не смогут казаться слипшимися.

Заметим, что трёхмерное пространство можно представить как след, оставляемый плоскостью в результате её движения по заданному направлению (рис. 8).

Рисунок 7. а) Двумерный человек пытается представить две параллельные плоскости; б) Реальное расположение параллеьных плоскостей; с) Мы пытаемя поместить два трехмерных пространства в одно тремерное пространство

Рисунок 8. Трехмерное пространство, получаемое движением плоскости

Теперь, как и ранее, рассмотрим пространства P и Q, пересекающиеся по плоскости α (рис. 9а)). Каждое из пространств можно получить движением плоскости α соответственно направлениям осей координат x и t. Далее проведём в пространстве P плоскость β на очень близком расстоянии параллельно плоскости α. Очевидно, β не будет находиться в пространстве Q. Начнём движение данных плоскостей по направлению t так, что в любой момент t движущиеся плоскости были параллельны и близки друг к другу. Тогда пространство Q и пространство Q β , полученные движением соответственно плоскостей α и β, параллельны, и будут находиться на очень близком расстоянии друг от друга (на расстоянии, равном расстоянию между плоскостями α и β, по измерению x). Тогда два трёхмерных тела, например, два шара, находящиеся в совершенно разных, но близких друг к другу параллельных пространствах Q и Q β , могут оказаться очень близкими («слипшимися») (рис. 9б)).

Рисунок 9. а) Плоскость β из лоскости P близка и параллельна плоскости α и не находится в пространстве Q ; б) Совокупности плоскостей, полученных движением плоскостей α и β по направлению t , образуют близкие друг к другу араллельные пространства Q и Q β Изображенныешары, находящиеся в этихх пространствах, близки друг к другу по всем точкам(«слипшиеся» шары)

Всё четырёхмерное пространство можно рассматривать как совокупность параллельных, очень близко расположенных («слипшихся») трёхмерных пространств. Если в качестве четвёртого измерения взять время, то движение человека на машине времени будет соответствовать переходу из одного параллельного пространства в другое. В этом случае, в отличие от пересекающихся пространств, когда мы видим только сечение объекта, который движется по второму пространству, пересекая наше, перед нами неожиданно возникнет машина времени с сидящим в ней человеком, которая растворится в прошлом или будущем в зависимости от направления её движения.

Таким образом: мы поняли, что трёхмерные пространства пересекаются по плоскости; четырёхмерное пространство можно представить как совокупность «слипшихся» параллельных трёхмерных пространств; получили представление о «слипшихся» трёхмерных телах, находящихся в параллельных пространствах.

Что собой представляет собой четырехмерный шар? Чтобы ответить на этот вопрос проанализируем то, как устроен наш обычный трёхмерный шар, с точки зрения двумерного человека. Безусловно, полностью шар он видеть не может, в его поле зрения находится только двумерная сфера - окружность, окаймляющая двумерный круг, и являющаяся пересечением мира двумерного человека с шаром (то, что находится внутри окружности, ему не видно. Рис10 а)). При переходе в параллельные пространства окружность будет сужаться, пока не выродится в точку (рис. 10 б)).

Рисунок 10. а) Двумерному человеку видна только часть окружности, окаймляющая пересчением плоскости и шара; б) При переходе человека в параллельные плоскости окржность постепенно выродится в точку

В случае четырёхмерного шара, поле зрения человека ограничено пространством, в котором он находится. По аналогии можно предположить, что он видит сферу, окаймляющую шар, являющуюся пересечением данного трёхмерного пространства с четырёхмерным шаром. При переходе в параллельные пространства сфера также будет уменьшаться в радиусе, пока не выродится в точку (рис. 11 а)). Теперь постараемся более подробно разобраться, что за шары мы видим, и как они образуют четырёхмерный шар.

Рассмотрим трёхмерный шар 2 (рис. 11 б)) и его сечения параллельными плоскостями. Совокупность этих параллельных плоскостей образуют трёхмерное пространство с измерениями y, z, t, в котором находится искомый шар 2. Каждая из этих плоскостей своим движением по направлению x образуют «слипшиеся» трёхмерные пространства. Именно в этих пространствах находятся трёхмерные шары (см. шар 1), которые мы наблюдаем при (описанных выше) переходах в параллельные пространства (рис. 11а)). Совокупность данных шаров будет образовывать четырёхмерный шар. Таким образом, четырёхмерный шар есть совокупность слипающихся по всем точкам шаров, уменьшающихся в размерах, которая и образует геометрический образ четырёхмерного шара. Однако мы не можем увидеть общую цельную картину шара, так как не можем видеть вне нашего пространства.

Рисунок 11. а) Видимые человеком, при переходах в параллельные пространства шары, уменьшающихся в размерах; б) Четырехмерный шар представляет собой совокупность уменьшающихся «слившихся» шаров, являющихся сечениями четырехмерного шара трехмерными пространствами, параллельными пространству P

Рассмотрим четырёхмерный шар с разных сторон. Наблюдатель, находящийся в трехмерном пространстве P с измерениями y, z, t и смотрящий по направлению t, будет видеть шар (рис. 12), который состоит из сечений шаров, образующих четырёхмерный шар (на рис. 11 это шар 2).

Наблюдатель, находящийся в пространстве Q и смотрящий по направлению x, так же увидит трёхмерный шар (рис 12). Таким образом, наблюдатели, находящиеся в пространствах P и Q, видят одну и ту же картинку - трёхмерный шар. Однако шары, которые они наблюдают, являются различными геометрическими объектами, находящимися в различных пространствах и пересекающимися по двумерному кругу.

Рисунок 12. Наблюдатели, находящиеся в пересекающихся пространствах P и Q видят трехмерный шар. Однако на самом деле они обозревают различные шары, пересекающиеся по кугу

К нашему сожалению, как было отмечено выше, поле нашего зрения ограничивается трёхмерным пространством, поэтому мы не можем видеть четырёхмерные образы в целом. Тем не менее, британский математик Ч. Хинтон (1853-1907) разработал особый метод построения моделей геометрических фигур в четырехмерном пространстве по их трехмерным сечениям. Этот метод подробно изложен в двух его монографиях , . Хинтон утверждал, что в результате многолетней работы, в основе которой лежал этот особый метод, он научился мысленно представлять геометрические образы в четырёхмерном пространстве. Он также полагал, что человек, достаточно хорошо овладевший этим методом, обретет интуитивное представление о четырёхмерном пространстве.

Список литературы:

1.Hinton Charles H. A New Era of Thought, orig. 1888, reprinted 1900, by Swan Sonnenschein & Co. Ltd., London - с. 240.

Ещё когда я был студентом-первокурсником у меня с одним моим одногруппником вышел горячий спор. Он говорил, что четырёхмерный куб представить нельзя ни в каком виде, а я уверял, что его можно представить достаточно отчётливо. Тогда я даже сделал из скрепок проекцию гиперкуба на наше трёхмерное пространство… Но давайте обо всём по-порядку.

Что такое гиперкуб и четырёхмерное пространство

В нашем привычном пространстве три измерения. С геометрической точки зрения это значит, что в нём можно указать три взаимно-перпендикулярных прямых. То есть для любой прямой можно найти вторую, перпендикулярную первой, а для пары можно найти третью прямую, перпендикулярную двум первым. Найти четвёртую прямую, перпендикулярную трём имеющимся, уже не удастся.

Четырёхмерное пространство отличается от нашего только тем, что в нём есть ещё одно дополнительное направление. Если у вас уже есть три взаимно перпендикулярные прямые, то вы можете найти четвёртую, такую, что она будет перпендикуляра всем трём.

Гиперкуб это просто куб в четырёхмерном пространстве.

Можно ли представить четырёхмерное пространство и гиперкуб?

Этот вопрос сродни вопросу: «можно ли представить Тайную Вечерю, посмотрев на одноимённую картину (1495-1498) Леонардо да Винчи (1452-1519)?»

С одной стороны, вы конечно не представите то, что видел Иисус (он сидит лицом к зрителю), тем более вы не почувствуете запаха сада за окном и вкуса еды на столе, не услышите пения птиц… Вы не получите полного представления о происходившем в тот вечер, но нельзя сказать, что вы не узнаете ничего нового и что картина не представляет никакого интереса.

Аналогичная ситуация и с вопросом о гиперкубе. Полностью представить его нельзя, но можно приблизиться к пониманию, каков он.

Построение гиперкуба

0-мерный куб

Начнём с начала - с 0-мерного куба. Этот куб содержит 0 взаимно перпендикулярных граней, то есть это просто точка.

1-мерный куб

В одномерном пространстве у нас есть только одно направление. Сдвигаем точку в этом направление и получаем отрезок.

Это одномерный куб.

2-мерный куб

У нас появляется второе измерение, сдвигаем наш одномерный куб (отрезок) в направлении второго измерения и получаем квадрат.

Это куб в двумерном пространстве.

3-мерный куб

С появлением третьего измерения поступаем аналогично: сдвигаем квадрат и получаем обычный трёхмерный куб.

4-мерный куб (гиперкуб)

Теперь у нас появилось четвёртое измерение. То есть в нашем распоряжении имеется направление, перпендикулярное всем трём предыдущим. Воспользуемся им точно так же. Четырёхмерный куб будет выглядеть вот так.

Естественно, трёхмерный и четырёхмерный кубы нельзя изобразить на двумерной плоскости экрана. То, что нарисовал я - это проекции. О проекциях мы поговорим чуть позже, а пока немного голых фактов и цифр.

Количество вершин, рёбер, граней

Обратите внимание, что гранью гиперкуба является наш обычный трёхмерный куб. Если внимательно посмотреть на рисунок гиперкуба, то можно действительно найти восемь кубов.

Проекции и зрение жителя четырёхмерного пространства

Несколько слов о зрении

Мы живём в трёхмерном мире, но видим мы его двумерным. Это связано с тем, что сетчатка наших глаз расположена в плоскости, имеющей только два измерения. Именно поэтому мы способны воспринимать двумерные картины и находить их похожими на реальность.

(Конечно, благодаря аккомодации, глаз может оценить расстояние до объекта, но это уже побочное явление, связанное с оптикой, встроенной в наш глаз.)

Глаза жителя четырёхмерного пространства должны иметь трёхмерную сетчатку. Такое существо может сразу увидеть трёхмерную фигуру полностью: все её грани и внутренности. (Точно так же мы можем увидеть двумерную фигуру, все её грани и внутренности.)

Таким образом, с помощью наших органов зрения, мы не способны воспринять четырёхмерный куб так, как его воспринимал бы житель четырёхмерного пространства. Увы. Остаётся только уповать на мысленный взор и фантазию, которые, к счастью, не имеют физических ограничений.

Тем не менее, изображая гиперкуб на плоскости, я просто вынужден делать его проекцию на двумерное пространство. Учитывайте это обстоятельство, при изучении рисунков.

Пересечения рёбер

Естественно, ребра гиперкуба не пересекаются. Пересечения появляются только на рисунках. Впрочем, это не должно вызывать удивления, ведь рёбра обычного куба на рисунках тоже пересекаются.

Длины рёбер

Стоит отметить, что все грани и рёбра четырёхмерного куба равны. На рисунке они получаются не равными только потому, что расположены под разными углами к направлению взгляда. Однако можно развернуть гиперкуб так, что все проекции будут иметь одинаковую длину.

Кстати, на этом рисунке отчётливо видны восемь кубов, являющихся гранями гиперкуба.

Гиперкуб внутри пустой

В это трудно поверить, но между кубами, ограничивающими гиперкуб, заключено некоторое пространство (фрагмент четырёхмерного пространства).

Чтобы это лучше понять, давайте рассмотрим двумерную проекцию обычного трёхмерного куба (я специально сделал её несколько схематичной).

Можно ли по ней догадаться, что внутри куба есть некоторое пространство? Да, но только применив воображение. Глаз этого пространства не видит.

Это происходит потому, что рёбра, расположенные в третьем измерении (которое нельзя изобразить на плоском рисунке), теперь превратились в отрезки, лежащие в плоскости рисунка. Они больше не обеспечивают объём.

Квадраты, ограничивающие пространство куба, наложились друг на друга. Но можно представить, что в исходной фигуре (трёхмерном кубе) эти квадраты располагались в разных плоскостях, а не один поверх другого в одной плоскости, как это получилось на рисунке.

Точно так же дело обстоит и с гиперкубом. Кубы-грани гиперкуба на самом деле не накладываются, как это кажется нам на проекции, а располагаются в четырёхмерном пространстве.

Развёртки

Итак, житель четырёхмерного пространства может увидеть трёхмерный объект одновременно со всех сторон. Можем ли мы одновременно со всех сторон увидеть трёхмерный куб? Глазом - нет. Но люди придумали способ, как изобразить на плоском рисунке все грани трёхмерного куба одновременно. Такое изображение называется развёрткой.

Развёртка трёхмерного куба

Как образуется развёртка трёхмерного куба все наверно знают. Этот процесс показан на анимации.

Для наглядности края граней куба сделаны полупрозрачными.

Следует отметить, что мы способны воспринять эту двумерную картинку только благодаря воображению. Если рассмотреть фазы разворачивания с чисто двумерной точки зрения, то процесс будет казаться странным и совсем не наглядным.

Он выглядит, как постепенное появление сперва очертаний искажённых квадратов, а потом их расползание на свои места с одновременным принятием необходимой формы.

Если смотреть на разворачивающийся куб в направлении одной из его граней (с этой точки зрения куб выглядит как квадрат), то процесс образования развёртки ещё менее нагляден. Всё выглядит как выползание квадратов из начального квадрата (не развёрнутого куба).

Но не наглядна развёртка только для глаз .

Как понять 4-х мерное пространство?

Как раз благодаря воображению из неё можно почерпнуть много информации.

Развёртка четырёхмерного куба

Сделать анимированный процесс разворачивания гиперкуба хоть сколько нибудь наглядным просто невозможно. Но этот процесс можно представить. (Для этого надо посмотреть на него глазами четырёхмерного существа.)

Развёртка выглядит так.

Здесь видны все восемь кубов, ограничивающих гиперкуб.

Одинаковыми цветами покрашены грани, которые должны совместиться при сворачивании. Серыми оставлены грани для которых парных не видно. После свёртки самая верхняя грань верхнего куба должна совместиться с нижней гранью нижнего куба. (Аналогично сворачивается развёртка трёхмерного куба.)

Обратите внимание, что после свёртки все грани восьми кубиков придут в соприкосновение, замкнув гиперкуб. И наконец, представляя процесс свёртывания, не забывайте, что при свёртывании происходит не наложение кубов, а оборачивание ими некой (гиперкубической) четырёхмерной области.

Сальвадор Дали (1904-1989) много раз изображал распятие, а кресты фигурируют в очень многих его картинах. На картине «Распятие» (1954) используется развёртка гиперкуба.

Пространство-время и евклидово четырёхмерное пространство

Надеюсь, что вам удалось представить гиперкуб. Но удалось ли вам приблизиться к пониманию, как устроено четырёхмерное пространство-время в котором мы живём? Увы, не совсем.

Здесь мы говорили об евклидовом четырёхмерном пространстве, но пространство-время обладает совсем другими свойствами. В частности, при любых поворотах отрезки остаются всегда наклонены к оси времени либо под углом меньше 45 градусов, либо под углом больше 45 градусов.

Свойствам пространства времени я посвятил серию заметок.

Трехмерность изображения

Мир трехмерен. Его изображение двухмерно. Важной задачей живописи и, теперь, фотографии является передача трехмерности пространства. Некоторыми приемами владели уже римляне, потом они были забыты и начали возвращаться в классическую живопись с Ренессансом.

Основной прием создания трехмерного пространства в живописи — перспектива. Железнодорожные рельсы, удаляясь от зрителя, визуально сужаются. В живописи рельсы можно физически сузить. В фотографии перспектива возникает автоматически: камера снимет рельсы такими же зауженными, как их видит глаз. Однако не допускайте почти смыкания: оно будет выглядеть уже не перспективой, а странной фигурой; между рельсами, сторонами улицы, берегами реки должен сохраняться заметный просвет.

Важно понимать, что линейная перспектива — наиболее примитивный, реалистичный способ передачи мира.

Post navigation

Не случайно ее появление связано с театральными декорациями (Флоренский, “Обратная перспектива”). Условность, простота передачи театральной сцены небольшой глубины очень подходит для фотографии, лишенной разнообразия приемов, доступных в живописи.

Существуют перспективы, значительно более интересные, чем линейная. В работах китайских мастеров присутствует плавающая перспектива, когда объекты изображены одновременно снизу, сверху и спереди. Она не была технической ошибкой некомпетентных художников: легендарный автор этой техники, Guo Xi писал, что такое отображение позволяет осознать мир в его тотальности. Аналогична техника русской иконописи, в которой зритель может видеть лицо и спину персонажа одновременно. Интересным приемом иконописи, встречающимся также у западноевропейских художников, была обратная перспектива, в которой удаленные объекты, наоборот, крупнее близких, подчеркивая важность. Только в наши дни было установлено, что такая перспектива правильная: в отличие от удаленных предметов, ближний план действительно воспринимается в обратной перспективе (Раушенбах). Средствами фотошопа можно добиться обратной перспективы, увеличивая объекты заднего плана. Для привыкшего к законам фотографии зрителя смотреться такое изображение будет странно.

Введение в кадр угла здания, от которого в обе стороны расходятся стены, создает подобие изометрической перспективы. Мозг понимает, что стены находятся под прямым углом, и раскладывает остальное изображение соответственно. Такая перспектива динамичнее фронтальной и естественнее для ближнего плана. Просто вводите в кадр торцевые углы предметов и близко расположенных зданий.

За счет расширения, изометрическая перспектива мажорна, что редко подходит для классического портрета. Линейная перспектива, за счет сужения, лучше передает минорные эмоции.

На этапе съемки, фотографу доступен ряд инструментов, подчеркивающих перспективу. Уходящие вдаль объекты равной ширины (колея, улица, колонны, борозды) своим сужением и даже просто удалением обозначают зрителю трехмерность пространства. Эффект сильнее, если снимать с низкого ракурса, чтобы увеличить искажения перспективы. Для пейзажной съемки этого достаточно, но при небольшой глубине изображения интерьерной съемки эффект малозаметен. Его можно немного усилить в пост-обработке, заузив верхнюю часть изображения (Transform Perspective). Впрочем, и в пейзаже гипертрофированная перспектива может выглядеть интересно.

Глубина может быть явной по смыслу изображения: здания разделены улицей или рекой. Диагональ подчеркивает трехмерность; например, мост через реку.

Предметы известного зрителю размера на заднем плане задают масштаб и, соответственно, формируют перспективу. В пейзажной съемке таким предметом может быть автомобиль, а в портретной попробуйте присогнуть и поджать под стул ногу (от камеры), чтобы она, оставаясь видимой, казалась меньше. Можно даже чуть уменьшить эту ногу в пост-обработке.

Орнамент передает перспективу за счет визуального уменьшения элементов. Примером будет крупная плитка на полу, линии разметки на дороге.

Существует техника гипертрофированного переднего плана. Диспропорционально большой, он создает глубину изображения. Сравнивая масштаб переднего плана и модели, глаз приходит к выводу, что модель гораздо дальше, чем кажется. Гипертрофированность должна оставаться едва различимой, чтобы изображение не воспринималось ошибкой. Этот прием подходит не только для пост-обработки, но и при съемке: исказите пропорции, снимая объективом 35 или 50мм. Съемка широкоугольным объективом растягивает пространство, усиливая его трехмерность за счет нарушения пропорций. Эффект сильнее, если снимать модель с близкого расстояния, но опасайтесь гротескных пропорций: только авторы религиозных изображений могут изображать человека больше здания.

Отлично работает пересечение. Если яблоко частично закрывает собой грушу, то мозг не ошибется: яблоко находится впереди груши. Модель, частично закрывающая собой мебель, создает тем самым глубину интерьера.

Глубину изображению придает также чередование светлых и темных пятен. Мозг знает по опыту, что находящиеся рядом предметы освещены примерно одинаково, поэтому интерпретирует по-разному освещенные предметы как расположенные на разном расстоянии. Для такого эффекта, пятна чередуются в направлении оси перспективы — вглубь изображения, а не поперек него. Например, снимая модель, лежащую от камеры в темном кадре, положите блики света возле ягодиц и возле ног. Можно осветлять/ затемнять области в пост-обработке.

Последовательность все более темных предметов воспринимается уменьшающейся. За счет постепенного затенения объектов, расположенных по активной линии, можно получить тонкое ощущение перспективы. Аналогично, глубина передается ослаблением света: пустите полосу света по мебели или на полу.

Трехмерное изображение можно получить за счет не только светового, но и цветового контраста. Этот прием был известен фламандским живописцам, которые располагали на своих натюрмортах яркие цветные пятна. Красный гранат и желтый лимон рядом будут смотреться трехмерно даже при плоском фронтальном освещении. Особенно хорошо они будут выступать вперед на фоне фиолетового винограда: теплый цвет на фоне холодного. Яркие цветные поверхности хорошо вырываются из темноты даже слабым светом, типичным для натюрморта. Контраст цветов лучше работает с основными цветами: красным, желтым, синим, а не оттенками.

На черном фоне, желтый цвет выступает вперед, синий прячется назад. На белом фоне — наоборот. Насыщенность цвета усиливает этот эффект. Почему так происходит? Желтый цвет не бывает темным, поэтому мозг отказывается верить в то, что желтый предмет может быть погружен в темный фон, не освещен. Синий цвет, наоборот, темный.

Усиление перспективы в пост-обработке сводится к имитации атмосферного восприятия: удаленные объекты кажутся нам более светлыми, размытыми, со сниженным контрастом по яркости, насыщенности и тону.

Помимо больших расстояний, атмосферные эффекты естественно выглядят в утренней дымке, тумане, накуренном баре. Учитывайте погоду: в облачный день или в сумерках не может быть значительного отличия между передним и задним планами.

Самый сильный из факторов — контраст по яркости. В настройках это обычный контраст. Снизьте контрастность удаленных предметов, поднимите контрастность переднего плана — и изображение станет выпуклым. Речь не о контрасте между передним и задним планами, а о контрастности заднего плана, которая должна быть ниже контрастности переднего. Этот метод подходит не только для пейзажей и жанровой съемки, но и студийного портрета: поднимите контраст передней части лица, снизьте контраст на волосах и скулах, одежде. Портретные фильтры делают нечто похожее, размывая кожу модели и оставляя резкими глаза и губы.

Корректировка контраста — самый простой способ трехмерной пост-обработки изображения. В отличие от других процессов, зритель практически не заметит изменений, что позволит сохранить максимальную естественность.

На снижение контраста похоже размытие, но это разные процессы. Изображение может быть низкоконтрастным, оставаясь резким. В силу ограниченной глубины резкости, размытие удаленных предметов остается наиболее популярным способом передачи трехмерности на фотографии, и его легко усилить, размыв дальний план в пост-обработке. Поэтому же на заднем плане следует располагать поменьше деталей — мозг не ожидает различимых предметов вдалеке. Между тем, снижение контраста лучше отвечает естественному восприятию: удаленные горы видны низкоконтрастными, а не размытыми, потому что сканируя пейзаж, взгляд постоянно перефокусируется, ему чужда проблема глубины резкости. Размывая задний план, можно заодно поднять резкость переднего. Дополнительно, на переднем плане можно усилить линии изображения (High Pass Filter или Clarity). Именно высокая резкость переднего плана объясняет характерную выпуклость изображения высококачественных объективов. Осторожно: ради незначительного увеличения трехмерности вы можете сделать изображение слишком жестким.

Более светлые объекты кажутся более удаленными. Связано это с тем, что в природе мы видим дальние объекты сквозь толщу рассеивающего свет воздуха; дальние горы кажутся светлыми. В пейзажной съемке следует, поэтому, с осторожностью относиться к расположению светлых объектов на переднем плане.

Осветлите дальние объекты. Чем удаленнее, тем больше они сливаются с яркостью и тоном неба. Обратите внимание, что горизонтальные объекты (земля, море) лучше освещаются, чем вертикальные (стены, деревья), поэтому не переусердствуйте с осветлением последних. В любом случае, объекты должны оставаться заметно менее светлыми, чем небо.

Хорошо, если вы заметили, что осветление — это другой способ снизить контраст по яркости заднего плана. Чуть затемните передний план для усиления эффекта выпуклости.

Казалось бы, в интерьере все наоборот. Если на улице глаз привык к тому, что даль светла, то в комнате свет зачастую сосредоточен на человеке, а интерьер погружен в темноту; мозг привык к освещению переднего плана, а не заднего.

На интерьерных изображениях с малой глубиной сцены, в отличие от пейзажных, освещенная модель выступает из темного фона. Но есть и противоположный фактор: 99% своей эволюции, человек наблюдал перспективу на открытой местности, и с появлением комнат мозг еще не успел перестроиться. Вермеер предпочитал светлый фон для портретов, и они у него действительно выпуклые. Освещение вертикального фона, рекомендуемое в фотографии, не только отделяет от него модель, но и за счет осветления фона придает изображению небольшую трехмерность. Здесь мы сталкиваемся с тем, что мозг анализирует расположение объектов по нескольким факторам, и они могут быть конфликтующими.

Интересно выглядит студийное освещение, в котором световые пятна лежат на удаленных от камеры зонах модели. Например, подсвечена та грудь, которая дальше от камеры.

Снизьте насыщенность цвета на удаленных объектах: из-за толщи разделяющего нас воздуха, дальние горы десатурированы почти до уровня монохрома и покрыты синей дымкой. Насыщенность переднего плана можно увеличить.

Поскольку желтый цвет светлый, а синий и красный — темные, то цветовой контраст заодно является и контрастом по яркости.

Десатурируя удаленный фон, не дайте ему пропасть из виду. Часто, напротив, нужно поднять насыщенность дальнего плана, чтобы проявить его. Это важнее трехмерности.

Много советов по трехмерности фотографии посвящено температурному контрасту. На самом деле, этот эффект очень слабый, легко перебивается контрастом по яркости. К тому же, температурный контраст назойлив, бросается в глаза.

Очень удаленные предметы кажутся более холодного цвета, потому что воздух поглощает теплый оранжевый свет. Фотографируя модель на пляже на фоне кораблей, расположенных у горизонта, в пост-обработке снизьте цветовую температуру далекого моря и судов. Модель в красном купальнике выступает из синего моря, а модель в желтом свете уличного фонаря — из синеватых сумерек.

В этом заключается раздельное тонирование: модель делаем теплее, фон — холоднее. Мозг понимает, что в одной плоскости разных цветовых температур не бывает, и воспринимает такое изображение трехмерным, на котором модель выступает из фона. Раздельное тонирование придает глубину и пейзажам: сделайте передний план теплее, задний холоднее.

Важное исключение из раздельного тонирования: на восходе и закате, удаленный фон вовсе не холодный, а теплый, с желтыми и красно-оранжевыми тонами. Очевидное решение — использовать белокожую модель в фиолетовом купальнике — не работает, потому что закатный свет наносит теплый оттенок и на тело модели.

Обобщим: для придания фотографии трехмерности на основе атмосферных эффектов, необходимо противопоставить передний и задний планы. Основное противопоставление — по обычному контрасту: передний план контрастный, задний — слабоконтрастный. Второе противопоставление — по резкости: передний план резкий, задний — размытый. Третье противопоставление — по светлости: передний план темный, задний — светлый. Четвертое противопоставление — по насыщенности: цвета переднего плана насыщены, заднего — десатурированы. Пятое противопоставление — по температуре: передний план теплый, задний — холодный.

Перечисленные факторы нередко разнонаправленны. Желтый цвет ярче синего, а светлые предметы кажутся дальше темных. Естественно было бы ожидать, что желтый цвет отступает, а синий — приближается к зрителю. На самом деле, наоборот: теплый цвет выступает из холодного фона. То есть, цвет оказывается более сильным фактором, чем яркость. Что, по размышлении, и не удивительно: желтый и красный хорошо различимы только вблизи, и зритель не ожидает их встретить на большом расстоянии.

Итог: удерживайте задний план низкоконтрастным, размытым, светлым, десатурированным, синеватым. И будьте готовы к тому, что зритель, привыкший к гипертрофированному 3D кинофильмов, сочтет созданную вами трехмерность едва заметной или отсутствующей.

В портретной съемке, лучше полагаться на проверенный эффект chiaroscuro — игру светотени на лице модели, которая сделает изображение достаточно выпуклым. В жанровой съемке, перспектива дает наиболее заметный эффект трехмерности. В натюрморте, основным фактором будет пересечение (наложение) предметов.

Не увлекайтесь перспективой; она лишь фон для фронтальной плоскости, на которой трепещет ваше изображение. В современной живописи, далекой от реализма, перспектива не в почете.

Скачать книгу целиком: pdfepubazw3mobifb2litОглавление

Недавно я делал простой рейтрейсер 3-х мерных сцен. Он был написан на JavaScript и был не очень быстрым. Ради интереса я написал рейтрейсер на C и сделал ему режим 4-х мерного рендеринга - в этом режиме он может проецировать 4-х мерную сцену на плоский экран. Под катом вы найдёте несколько видео, несколько картинок и код рейтрейсера.

Зачем писать отдельную программу для рисования 4-х мерной сцены? Можно взять обычный рейтрейсер, подсунуть ему 4D сцену и получить интересную картинку, однако эта картинка будет вовсе не проекцией всей сцены на экран. Проблема в том, что сцена имеет 4 измерения, а экран всего 2 и когда рейтрейсер через экран запускает лучи, он охватывает лишь 3-х мерное подпространство и на экране будет виден всего лишь 3-х мерный срез 4-х мерной сцены. Простая аналогия: попробуйте спроецировать 3-х мерную сцену на 1-мерный отрезок.

Получается, что 3-х мерный наблюдатель с 2-х мерным зрением не может увидеть всю 4-х мерную сцену - в лучшем случае он увидит лишь маленькую часть. Логично предположить, что 4-х мерную сцену удобнее разглядывать 3-х мерным зрением: некий 4-х мерный наблюдатель смотрит на какой то объект и на его 3-х мерном аналоге сетчатки образуется 3-х мерная проекция. Моя программа будет рейтрейсить эту трёхмерную проекцию. Другими словами, мой рейтрейсер изображает то, что видит 4-х мерный наблюдатель своим 3-х мерным зрением.

Особенности 3-х мерного зрения

Представьте, что вы смотрите на кружок из бумаги который прямо перед вашими глазами - в этом случае вы увидите круг. Если этот кружок положить на стол, то вы увидите эллипс. Если на этот кружок смотреть с большого расстояния, он будет казаться меньше. Аналогично для трёхмерного зрения: четырёхмерный шар будет казаться наблюдателю трёхмерным эллипсоидом. Ниже пара примеров. На первом вращаются 4 одинаковых взаимноперпендикулярных цилиндра. На втором вращается каркас 4-х мерного куба.

Перейдём к отражениям. Когда вы смотрите на шар с отражающей поверхностью (на ёлочную игрушку, например), отражение как бы нарисовано на поверхности сферы. Также и для 3-х мерного зрения: вы смотрите на 4-х мерный шар и отражения нарисованы как бы на его поверхности. Только вот поверхность 4-х мерного шара трёхмерна, поэтому когда мы будем смотреть на 3-х мерную проекцию шара, отражения будут внутри, а не на поверхности. Если сделать так, чтобы рейстрейсер выпускал луч и находил ближайшее пересечение с 3-х мерной проекцией шара, то мы увидим чёрный круг - поверхность трёхмерной проекции будет чёрная (это следует из формул Френеля). Выглядит это так:

Для 3-х мерного зрения это не проблема, потому что для него виден весь этот 3-х мерный шар целиком и внутренние точки видны также хорошо как и те, что на поверхности, но мне надо как то передать этот эффект на плоском экране, поэтому я сделал дополнительный режим рейтрейсера когда он считает, что трёхмерные объекты как бы дымчатые: луч проходит через них и постепенно теряет энергию. Получается так:

Тоже самое верно для теней: они падают не на поверхность, а внутрь 3-х мерных проекций. Получается так, что внутри 3-х мерного шара - проекции 4-х мерного шара - может быть затемнённая область в виде проекции 4-х мерного куба, если этот куб отбрасывает тень на шар. Я не придумал как этот эффект передать на плоском экране.

Оптимизации

Рейтрейсить 4-х мерную сцену сложнее чем 3-х мерную: в случае 4D нужно найти цвета трёхмерной области, а не плоской. Если написать рейтрейсер «в лоб», его скорость будет крайне низкой. Есть пара простых оптимизаций, которые позволяют сократить время рендеринга картинки 1000×1000 до нескольких секунд.

Первое, что бросается в глаза при взгляде на такие картинки - куча черных пикселей. Если изобразить область где луч рейтрейсера попадает хоть в один объект, получится так:

Видно, что примерно 70% - черные пиксели, и что белая область связна (она связна потому что 4-х мерная сцена связна). Можно вычислять цвета пикселей не по порядку, а угадать один белый пиксель и от него сделать заливку. Это позволит рейтрейсить только белые пиксели + немного черных пикселей которые представляют собой 1-пиксельную границу белой области.

Вторая оптимизация получается из того, что фигуры - шары и цилиндры - выпуклы. Это значит, что для любых двух точек в такой фигуре, соединяющий их отрезок также целиком лежит внутри фигуры. Если луч пересекает выпуклый предмет, при этом точка A лежит внутри предмета, а точка B снаружи, то остаток луча со стороны B не будет пересекать предмет.

Ещё несколько примеров

Здесь вращается куб вокруг центра. Шар куба не касается, но на 3-х мерной проекции они могут пересекаться.

На этом видео куб неподвижен, а 4-х мерный наблюдатель пролетает через куб. Тот 3-х мерный куб что кажется больше - ближе к наблюдателю, а тот что меньше - дальше.

Ниже классическое вращение в плоскостях осей 1-2 и 3-4. Такое вращение задаётся произведением двух матриц Гивенса.

Как устроен мой рейтрейсер

Код написан на ANSI C 99. Скачать его можно . Я проверял на ICC+Windows и GCC+Ubuntu.

На вход программа принимает текстовый файл с описанием сцены.

Scene = { objects = -- list of objects in the scene { group -- group of objects can have an assigned affine transform { axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 } }, lights = -- list of lights { light{{0.2, 0.1, 0.4, 0.7}, 1}, light{{7, 8, 9, 10}, 1}, } } axiscylr = 0.1 -- cylinder radius axiscyl1 = cylinder { {-2, 0, 0, 0}, {2, 0, 0, 0}, axiscylr, material = {color = {1, 0, 0}} } axiscyl2 = cylinder { {0, -2, 0, 0}, {0, 2, 0, 0}, axiscylr, material = {color = {0, 1, 0}} } axiscyl3 = cylinder { {0, 0, -2, 0}, {0, 0, 2, 0}, axiscylr, material = {color = {0, 0, 1}} } axiscyl4 = cylinder { {0, 0, 0, -2}, {0, 0, 0, 2}, axiscylr, material = {color = {1, 1, 0}} }

После чего парсит это описание и создаёт сцену в своём внутреннем представлении. В зависимости от размерности пространства рендерит сцену и получает либо четырёхмерную картинку как выше в примерах, либо обычную трёхмерную. Чтобы превратить 4-х мерный рейтрейсер в 3-х мерный надо изменить в файле vector.h параметр vec_dim с 4 на 3. Можно его также задать в параметрах командной строки для компилятора. Компиляция в GCC:

Cd /home/username /rt/
gcc -lm -O3 *.c -o rt

Тестовый запуск:

/home/username /rt/rt cube4d.scene cube4d.bmp

Если скомпилировать рейтрейсер с vec_dim = 3, то он выдаст для сцены cube3d.scene обычный куб .

Как делалось видео

Для этого я написал скрипт на Lua который для каждого кадра вычислял матрицу вращения и дописывал её к эталонной сцене.

Axes = { {0.933, 0.358, 0, 0}, -- axis 1 {-0.358, 0.933, 0, 0}, -- axis 2 {0, 0, 0.933, 0.358}, -- axis 3 {0, 0, -0.358, 0.933} -- axis 4 } scene = { objects = { group { axes = axes, axiscyl1, axiscyl2, axiscyl3, axiscyl4 } }, }

Объект group помимо списка объектов имеет два параметра аффинного преобразования: axes и origin. Меняя axes можно вращать все объекты в группе.

Затем скрипт вызывал скомпилированный рейтрейсер. Когда все кадры были отрендерены, скрипт вызывал mencoder и тот собирал из отдельных картинок видео. Видео делалось с таким расчётом, чтобы его можно было поставить на автоповтор - т.е. конец видео совпадает с началом. Запускается скрипт так:

Luajit animate.lua

Ну и напоследок, в этом архиве 4 avi файла 1000×1000. Все они циклические - можно поставить на автоповтор и получится нормальная анимация.

Теги:

• рейтрейсер
• четырёхмерное пространство

Добавить метки

Четырехмерное вращение Вселенной.

Если Вселенная замкнута, то она обязана вращаться. Все её точки обязаны двигаться с одной и той же 4-скоростью, и с одной и той же угловой скоростью.

Обычный мячик Вы так не раскрутите. Точки мячика возле оси вращения движутся с меньшей линейной скоростью, чем экваториальные точки.

Но замкнутая Вселенная оказывается идеальной в отношении вращения. Она оказывается пространственно однородной и изотропной. Как такое может быть? Ведь на рисунке слева видна явная анизотропия, - мы видим две оси вращения.

Этот рисунок, действительно, помогает нам понять четырехмерное вращение трехмерной неевклидовой гиперсферы x 2 +y 2 +z 2 +q 2 =r 2 , погруженной в Евклидово четырехмерное пространство. Но в этом уравнении фигурирует пространственная координата q , которую на рисунке мы отождествили с цветом.

Давайте заменим её на временную координату t, помноженную на скорость света, чтобы получить метры, и на мнимую единичку i, ведь пространство-время псевдоевклидово. То есть получаем уравнение: x 2 +y 2 +z 2 +(ict) 2 =r 2 , псевдоевклидовой гиперсферы.

Вы могли бы посмотреть на это вращение в плоскости (x,ict), открыв мою программу, но сейчас файлы с расширением exe не загружаются на сайт. В ближайшее время я попробую сделать анимированный gif-рисунок.

Отметим, что там вращается электрон, пробегая за свое классическое время правую и левую гиперболу. Там же вы видите как "тень" электрона рисует окружность. Эту окружность мы получим, если разделим каждый элемент гиперболы на соответствующий релятивистский множитель, и просуммируем их. В результате получаем 2p ri. Это наводит на мысль что пседвоокружность в замкнутой Вселенной превращается в квазизамкнутую окружность не только для электрона, но и для всех частиц во Вселенной, включая галактики.

Итак, куда же девается асимметрия? Для этого вспомним что квадрат 4-скорости (v g , icg ) в специальной теории относительности является инвариантом и он равен -c 2 . Для любого тела! Пространственная часть четырехскорости для покоящегося тела равна нулю, а временная дает нам скорость света.

Берем любую точку замкнутой вращающейся Вселенной. У любой точки существует две оси-плоскости. На одной оси она находится, а другая ось расположена перпендикулярно. Обе являются окружностями. Ось на которой находится рассматриваемая частица содержит координату времени и любую другую, пространственную. Пускай это будет (z,ict). Эта ось движется со скоростью с. Для нашей исследуемой частицы эта скорость будет чисто временной, поскольку она движется вместе с этой осью, а значит покоится относительно этой оси. Другие точки на оси будут получать тем большую пространственную часть, чем дальше они находятся от исследуемой точки. А по временной составляющей 4-скорости темп времени падает, тем больше, чем дальше она находится от исследуемой точки. Итак, делаем вывод: галактики в двух противоположных направлениях, в которые упирается эта ось-плоскость, будут иметь поперечное красное смещение из-за пространственно-временного поворота по координате z.

Поскольку другая ось-плоскость вращается в перпендикулярном направлении, то там тоже будет наблюдаться поперечное красное смещение, но там оно обусловлено поперечным движением в плоскости (x,y).

Такое вращение объясняет очень много вещей:
наличие спина у каждой частицы;
наличие квантовой ψ- функции;
право-левая асимметрия в спиральностях галактик;
почему условный возраст Вселенной 13,34 млрд. лет, всегда!
аномально быстрое вращение периферийных частей галактик;
критическая плотность Вселенной может быть меньше...

Если скорости вращения вдоль осей чуть-чуть отличаются, то мы можем увидеть мультипольную структуру в реликтовом фоне, и небольшую анизотропию в красных смещения галактик.

Мировые линии.

На gif-анимированном рисунке мы видим движение шаров. На самом деле воображаемую картину необходимо несколько усложнить, вообразив мировые линии галактик. Для галактик, вращающихся в плоскости (z,ict), время мы отождествляем с цветом. Если время с этой стороны рисунка идет в одном направлении, то с противоположной стороны рисунка время идет вспять. Этому не стоит удивляться. Как известно, такое уже в физике встречалось, - позитрон это электрон, живущий вспять во времени. А на страницах о квантуемой скорости, мы развили эту идею и увидели, что каждая элементарная частица живет во времени "туда-сюда". Составная частица "вспыхивает" в моменты стыковок квазизамкнутых окружностей. И, если по завершению обхода, какая-то из элементарных частиц опаздывает или опережает другие частицы, то в момент пространственно-временной синхронизации она получает элементарное изменение скорости, или другими словами - совершает элементарный поворот в пространстве-времени.

Такие же элементарные повороты в пространстве-времени мы увидим если проследим за движением шаров на нашем вращающимся рисунке, дополненным другим рисунком.

Совершим элементарный переход из центра этого рисунка в любую сторону. При этом она окажемся ближе к какой-то условной границе. Но поскольку Вселенная изотропна и однородна, мы должны выполнить преобразования с другими галактиками, - переместить их так, чтобы исследуемая частица оказалась снова в центре.

Мысленно выполняя эту процедуру, замечаем, что галактики, которые были сзади у дальней границы, после преобразования окажутся у передней границы.

Если перемещение совершается вдоль временной компоненты, то галактики, которые находились у горизонта событий в прошлом исчезают и появляются в далеком будущем "сверху над световым конусом".

Галактики, которые находятся в пределах светового конуса в промежуточном положении между исследуемой перемещаемой галактикой и горизонтом событий, из-за серии последовательных преобразований получают скорость удаления, подобную той, которая "наблюдается" в расширяющейся модели Вселенной.

Помимо выхода вещества за пределы горизонта событий в далеком прошлом, а соответственно, процесса уменьшения концентрации частиц в связи с ускорением удаления галактик, существует процесс, компенсирующий число галактик в пределах светового конуса.

Число галактик понятие относительное. Около нашей Галактики существуют спутники, БМО и ММО. Вполне возможно, что сейчас зарождаются и другие спутники, - от Галактики отделяются какие-нибудь скопления звезд. Со временем это будут независимые галактики с большим числом звезд. Вопрос, - откуда берется материя.

Во-первых, - вхождение вещества в световой конус сверху. Во-вторых, - гамма-всплески. Этот процесс изложен на странице Модель Хойла и 4d вращение. Оказывается, что четырехмерное вращение Вселенной в двух взаимно перпендикулярных плоскостях не только соответствует наблюдениям, но и реанимирует Стационарную модель Вселенной, созданную Фредом Хойлом, Германом Бонди и Томасом Голдом.

Некоторые полезные приложения из других источнков.

Kissing Number

Problems of arranging balls densely arise in many situations, particularly in coding theory (the balls are formed by the sets of inputs that the error-correction would map into a single codeword).
The most important question in this area is Kepler"s problem: what is the most dense packing of spheres in space? The answer is obvious to anyone who has seen grapefruit stacked in a grocery store, but a proof remains elusive. (It is known, however, that the usual grapefruit packing is the densest packing in which the sphere centers form a lattice.)

The colorfully named "kissing number problem" refers to the local density of packings: how many balls can touch another ball? This can itself be viewed as a version of Kepler"s problem for spherical rather than Euclidean geometry.

In mathematics, sphere packing problems concern arrangements of non-overlapping identical spheres which fill a space. Usually the space involved is three-dimensional Euclidean space. However, sphere packing problems can be generalised to two dimensional space (where the "spheres" are circles), to n-dimensional space (where the "spheres" are hyperspheres) and to non-Euclidean spaces such as hyperbolic space.
A regular arrangement (also called a periodic or lattice arrangement) is one in which the centres of the spheres form a very symmetric pattern called a lattice. Arrangements in which the spheres are not arranged in a lattice are called irregular or aperiodic arrangements. Regular arrangements are easier to handle than irregular ones-their high degree of symmetry makes it easier to classify them and to measure their densities.

The number of equivalent hyperspheres in dimensions n which can touch an equivalent hypersphere without any intersections, also sometimes called the Newton number, contact number, coordination number, or ligancy.

Exact values for lattice packings are known for n=1 to 9 and n=24 (Conway and Sloane 1993, Sloane and Nebe). Odlyzko and Sloane (1979) found the exact value for 24-D.

Exact values for general packings are known for n=1, 2, 3, 4, 8, and 24. Musin developed a bounding method in 2003 to prove the 24-dimensional case, and his method also provides proofs for three and four dimensions (Pfender and Ziegler 2004).

SO(4)

In mathematics, SO(4) is the four-dimensional rotation group; that is, the group of rotations about a fixed point in four-dimensional Euclidean space. The name comes from the fact that it is (isomorphic to) the special orthogonal group of order 4.

Simple rotations
A simple rotation R about a rotation centre O leaves an entire plane A through O (axis-plane) pointwise invariant...

Half-lines from O in the axis-plane A are not displaced; half-lines from O orthogonal to A are displaced through α; all other half-lines are displaced through an angle < α.

Double rotations
A double rotation R about a rotation centre O leaves only O invariant. Any double rotation has at least one pair of completely orthogonal planes A and B through O that are invariant as a whole, i.e. rotated in themselves. In general the rotation angles α in plane A and β in plane B are different. In that case A and B are the only pair of invariant planes, and half-lines from O in A, B are displaced through α, β, and half-lines from O not in A or B are displaced through angles strictly between α and β.

Isoclinic rotations
If the rotation angles of a double rotation are equal then there are infinitely many invariant planes instead of just two, and all half-lines from O are displaced through the same angle. Such rotations are called isoclinic or equiangular rotations, or Clifford displacements. Beware: not all planes through O are invariant under isoclinic rotations; only planes that are spanned by a half-line and the corresponding displaced half-line are invariant.