Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Размерность фрактальных поверхностей

1. Введение в размерность

3. Природные фракталы

6. Фрактальная размерность

7. Подобие и скейлинг

9. Показатель Хёрста

Список литературы

1. Введение в размерность

Важной характеристикой инженерной поверхности, наряду со стандартными параметрами шероховатости, является фрактальная размерность. Рассмотрим один из способов определения фрактальной размерности поверхности по соотношению "периметр-площадь".

Как известно, эвклидова размерность точки DE=d=0. Найдем размерность геометрических фигур, взяв в качестве примера диаметральное сечение шара радиусом r:

· длина (диаметр) L=2r (L=Vd=1),

· площадь сечения A=r2 (A=Vd=2),

· объем шара V=(4/3)r3 (V=Vd=3).

Эти известные измеряемые величины могут быть определены по общей формуле

где Г(х) ? гамма функция, равная

Если n ? целое число, то

при n=0,1,2,…

2. Размерность геометрических объектов

Размерность фрактального объекта определяется исходя из понятия фрактала. Фрактал - это множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности. Фрактал обладает дробной размерностью.

В двухмерном случае фрактальную кривую получают с помощью некоторой ломаной линии (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную линию, заменяется на ломаную - генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 1) ? это 0-е поколение кривой.

Рис. 1. Процедура построения кривой Коха

Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Коха. В 1-м поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/

Для получения 3-го поколения проделываются те же действия: каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом.

Кривая Коха представляет собой структуру, состоящую из частей, которые в некотором смысле подобны целому. Такие геометрические объекты относят к самоподобным объектам. Это означает, что в широком диапазоне масштабов топографические особенности и повторения объекта одни и те же.

Так, для кривой Коха, выбрав фрагмент, равный 1/3 отрезка линии, длиной, равной единице, и увеличив его в три раза, получим исходный отрезок, равный единице. Такие объекты обладают скейлингом, или масштабом измерения.

На рис. 1 представлены три поколения кривой. Если взять за основу не прямую, а треугольник и применить тот же алгоритм для каждой из сторон, то мы получим фрактал, называемый снежинкой (островом) Коха (рис. 2).

Рис. 2. Остров ("снежинка") Коха

При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис. 2 представлены первые поколения кривой, построенной по описанному принципу.

Предельная фрактальная кривая (при n> ?) называется "драконом" Хартера-Хейтуэя (рис. 3). На рис. 4 представлен "ковер" польского математика Серпинского.

Рис. 3. Процедура построения "дракона" " Хартера-Хейтуэя

Рис. 4. Построение "ковра" Серпинского

3. Природные фракталы

Облака, горы, кусты, деревья и другие растения тоже имеют фрактальную структуру. Рассмотрим процесс роста куста (рис. 5). Сначала появилась веточка, потом она выпустила два побега, на следующем этапе каждый побег вновь раздвоился, то же самое происходит на следующем этапе, и в результате из начальной "вилки" двух побегов вырастает причудливое самоподобное растение.

Рис. 5. Модель куста

Оно получено многократным повторением исходного эталона (n=1). На рис. 5 и 6 показаны примеры построения фрактальных объектов, сходных с природными образованиями (рис. 7).

Рис. 6. Построение фрактального объекта

Рис. 7. Природные фрактальные объекты:

а - горец почечуйный; б? дуб; в? сушеница топяная; г - хвощ

4. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Для оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича рассмотрим измерение множества точек? метрического пространства (рис. 8).

Рис. 8. Точки в метрическом Пространстве

Разобьем пространство на квадратные ячейки с размером стороны ячейки д и подсчитаем число ячеек, покрывающих это множество. Уменьшение размера ячейки приводит к росту числа ячеек, покрывающих множество. Каждая ячейка имеет площадь д2, тогда площадь множества

где N(д) - число ячеек, покрывающих множество.

Рассмотрим некоторые величины, характеризующие множество. Так, "длина" поверхности определяется выражением

Так как, то "длина" поверхности, определяемая предельным переходом, равна:

"Объем" поверхности

Таким образом, "длина" множества стремится к бесконечности, а "объем" ? к нулю.

Для характеристик" величины" (длины, объема) множества точек? используется некоторая пробная функция, которая определяет размеры ячейки: длину при d=1, площадь при d=2, объем при d= "Величина", или мера множества? определяется как сумма "величин" всех ячеек, покрывающих метрическое пространство?:

Константа зависит от формы ячеек (для квадратной ячейки).

При некотором показателе степени d мера Md при д>0 равна либо нулю, либо бесконечности, либо некоторому (не обязательно целому) конечному положительному числу. Значение d, при котором мера Md не равна нулю или бесконечности, адекватно отражает топологическую размерность множества?.

Число dcr такое, что

называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Для "простых" (не фрактальных) геометрических объектов размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической размерностью. Для фрактальных объектов скачок меры Md от нуля к бесконечности происходит при дробных значениях d.

Пусть функция N(д) зависит от д со степенной особенностью в нуле

где б(д)дd >0 при д>0.

С точностью до бесконечно малых величин запишем

Таким образом, имеем

5. Измерение длины негладкой (изломанной) линии

Как измерить длину береговой линии?

Рассмотрим следующие сравнительно простые приемы измерения.

Пометим точками A и B начало и конец измеряемого участка (рис. 9).

Рис. 9. Измерение длины линии раствором циркуля или с помощью сетки

Одна из процедур измерения длины заключается в следующем.

Будем измерять длину линии от точки А до точки B отрезками длиной д.

Подсчитав число отрезков, найдем длину С уменьшением раствора циркуля д число отрезков N(д) растет. Типичная зависимость L(д) от д в логарифмических координатах представлена на рис. 10.

Рис. 10. Зависимость измеренной длины изломанной (береговой) линии от масштаба (длины отрезка д )

Не останавливаясь на недостатках этого метода, особенно при определении фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности, рассмотрим другой (альтернативный) метод.

Покроем рассматриваемый участок квадратной сеткой (правая часть рис. 9) и подсчитаем число ячеек, покрывающих рассматриваемую линию.

Уменьшение размера ячеек приводит к увеличению числа ячеек, покрывающих линию AB. Следует ожидать, что число шагов измерительного циркуля или число покрывающих линию ячеек будет обратно пропорционально д или д*х д*, а величина будет стремиться к постоянному для данной линии значению L(д). Однако при уменьшении д или размера ячеек сетки длина линии не стремится к постоянному значению. При д>0 измеряемая длина непрерывно растет, т.е. при д>0 величина L(д) не является пределом.

Измеренная длина линии может быть описана следующей приближенной формулой:

где D - фрактальная размерность линии.

Легко показать, что для прямой линии и, например, для окружности D=1. Длина окружности при уменьшении д стремится к постоянному значению, равному 2рR, где R-радиус окружности.

фрактальный размерность поверхность скейлинг

6. Фрактальная размерность

Б. Мандельброт (B.B. Mandelbrot) предложил следующее определение фрактала. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича (Х-Б) которого строго больше его топологической размерности (Е. Федер, 1991). Нестрогое определение, не требующее разъяснения понятий множество, размерность Х-Б, топологическая размерность, формулируется так: фрактал? это структура, состоящая из частей, подобных целому. Или еще проще: фрактал - это структура с дробной размерностью.

Зависимость N(д) числа отрезков д (или числа ячеек, покрывающих линию) от размера отрезка (или размера ячеек) описывается следующим с точностью до множителя соотношением:

где D - фрактальная размерность.

Если построить зависимость lgN(д)-lg(д), то фрактальная размерность равна угловому коэффициенту (наклону) графика, т.е.

Размерность, определяемая путем подсчета числа клеток (ячеек), покрывающих линию в зависимости от размера клетки, называют клеточной размерностью.

Фрактальная размерность поверхности. Покроем исследуемый участок поверхности системой одинаковых треугольников и подсчитаем суммарную площадь покрытия, равную

где AД-площадь треугольника. Разделим полученную площадь на величину номинальной площади-проекции реальной поверхности на плоскость, определяемую геометрическим очертанием исследуемого участка.

Тогда, построив в двойных логарифмических координатах зависимость относительной площади покрытия от площади покрывающего элемента, можно найти в определенном диапазоне изменения площади элемента наклон или угловой коэффициент прямой, величина которого берется со знаком минус.

В результате расчета находят фрактальную размерность поверхности, равную

Фрактальная размерность поверхности изменяется в пределах 2

7. Подобие и скейлинг

Дадим определение геометрического подобия.

Две геометрические фигуры называются подобными, если: 1) угол между каждыми двумя линиями в одной из них равен углу между соответствующими линиями в другой и 2) каждый прямолинейный отрезок в одной из них находится в постоянном отношении с соответствующим ему отрезком в другой.

Так, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны, а длины сторон, заключающих эти углы, пропорциональны.

Кроме геометрического подобия, различают кинематическое и динамическое подобия для механических явлений, лежащие в основе процедур моделирования.

Прямая линия при параллельном переносе остается самой собой.

Можно утверждать, что прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба (скейлинга), т.е. она самоподобна.

Таким образом, скейлинг - это отражение масштабной инвариантности.

Для отрезка прямой единичной длины можно выбрать коэффициент подобия

где N - любое целое число (N >1).

Прямоугольный участок плоскости можно покрыть уменьшенными копиями, если их длины изменить в r(N)=(1/N)1/2 раз.

Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, выбрав масштабный множитель r(N)=(1/N)1/ В общем случае масштабный множитель следует выбрать равным

где d - размерность подобия, равная 1 - для прямой, 2 - для плоскости и 3 - для объемных фигур.

Для фрактальных геометрических структур размерность подобия Dp определяется выражением

8. Самоподобие и самоаффинность

В качестве примера возьмем движение броуновской частицы. Ее координаты на плоскости (х,y) и время (t) являются физическими величинами, имеющими разную размерность. Вот почему координаты и время будут иметь разные коэффициенты подобия. Аффинное преобразование переводит точку x=(x1,x2,…,xE) в новую точку x"=(r1 x1, r2 x2,…,rE xE), где не все коэффициенты подобия r1, …,rE одинаковы.

Для самоаффинного профиля можно записать

Здесь b-масштаб увеличения; Н-показатель степени (показатель Хёрста).

Показатель Хёрста изменяется в диапазоне 0

9. Показатель Хёрста

Показатель Хёрста позволяет определить фрактальную размерность последовательности измерений, в частности, он использовался в качестве инструмента для статистической оценки высот волн [Е. Федер]. Считается установленной связь между показателем Хёрста и фрактальными размерностями высот волн и поверхности, которая выражается следующими простыми соотношениями для профиля и поверхности: D=2-H; DS=3-H. Рассмотрим методику определения показателя Хёрста.

1. Находим N высот вершин выступов H={h1, h2,…,hN}T и определяем относительные значения этих высот х1,х2,…,хN, хi, где. Если высоты выступов подчиняются бетараспределению, то значения хi хi.

2. Находим выборочное (из N высот выступов) среднее

Определяем накопившееся отклонение

График изменения накопившегося отклонения для высот выступов, имеющих бета-распределение при N=50, представлен на рис. 11.

Рис. 11. Зависимость накопившегося отклонения X(n,N) от N

Из графика находим размах R.

4. Вычисляем стандартное отклонение? выборочное среднее квадратическое отклонение относительных высот выступов

5. Представим отношение R/S, зависящее от показателя Хёрста, в виде

где Нпоказатель Хёрста.

При репрезентативной выборке высот выступов показатель Н можно найти, используя приведенное эмпирическое выражение Хёрста. Представляет интерес найти зависимость R/S от числа рассматриваемых выступов N. Эта зависимость в логарифмических координатах будет представлять собой прямую линию, наклон которой определяется показателем Хёрста. Фрактальная размерность последовательности относительных значений высот выступов будет равна D=2-H.

Рассмотрим следующий пример. В качестве исходных данных были взяты ординаты профиля поверхности (с шагом 10 мкм). Длина трассы составила 800 мкм. Ординаты имели вертикальное увеличение, равное 50 000. На рис. 12 показаны профиль поверхности (кривая 1) и накопленное отклонение ординат от средней линии (кривая 2).

Рис. 12. Профиль поверхности (1) и накопленное отклонение (2) ординат от средней линии профиля

Размах зависит от рассматриваемой длины профилограммы (числа номеров ординат). Ясно, что размах растет с увеличением. Зависимость нормального размаха, определяемого выражением (R/S), от показана в логарифмических координатах для рассматриваемой стальной поверхности на рис. 1.

Рис. 13 Метод нормированного размаха для оценки фрактальной размерности профиля

Рассмотрим алгоритм определения показателя Хёрста с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Будем искать уравнение регрессии в виде

где y=lg(R/S), b=lg(a), m=H, x=lg(ф/2).

Вход: N (число точек), (оi, зi), i=1,2,…,N (координаты точек)

Выход: b=lg(a) (сдвиг), m=H (наклон)

Алгоритм:

Аппроксимирующей функцией зависимости, представленной на рис. 13, является степенная зависимость вида:

Таким образом, показатель Хёрста равен H=0,35, и фрактальная размерность профиля оценивается величиной D=2 H=2 0,35=1,65.

Статистическая самоаффинность обусловлена сходством внешнего вида профиля при разных масштабах. Иными словами, шероховатая поверхность всегда негладкая при рассмотрении с разным увеличением.

При 0,5

При 0

В качестве примера на рис. 14 показана последовательность временного ряда (или ординат профиля шероховатой поверхности) и зависимость нормированного размаха от времени (длины профиля).

Рис. 14. Последовательность ординат и зависимость нормированного размаха от длины

Обращает на себя внимание разное значение показателя Хёрста на трех участках R/S - анализа. При малом числе элементов показатель Хёрста близок к единице и не совсем отражает фрактальную структуру объекта.

Сейлс и Томас (R.S. Sayles, T.R. Thomas) измерили и проанализировали шероховатость поверхностей разнообразных объектов, в том числе и инженерных металлических поверхностей.

Высота поверхности z измерялась в различных точках х вдоль некоторого направления. Имея большое число измерений по всему участку поверхности, можно рассчитать шероховатость поверхности, определяемую дисперсией:

Здесь угловые скобки обозначают усреднение по серии измерений (иногда многократных повторных) топографии поверхности. Точка отсчета по вертикали выбирается так, что

Важной мерой статистических свойств поверхности является корреляционная функция, определяемая соотношением:

Для стационарных поверхностей корреляционную функцию можно выразить через спектр мощности G() с помощью преобразования Фурье

Здесь щ - частота.

Для шероховатой поверхности нижний и верхний пределы интегрирования будут соответствовать щ min и щ max.

Оценка частот характеризуется первым и вторым кроссоверами (рис. 1.3).

Для самоаффинного или самоподобного профиля поверхности спектральная плотность имеет степенной вид

Здесь f - частота дискретизации; а и b - коэффициенты регрессии.

Коэффициент а носит название коэффициент изрезанности, а b - характеризует фрактальную размерность профиля.

10. Соотношение "периметр-площадь"

Сравним соотношение "периметр-площадь" для нефрактальных (табл. 1) и фрактальных геометрических объектов.

1. Нефрактальные объекты.

Таблица 1. Соотношение "периметр - площадь" в эвклидовой геометрии

2. Фрактальные объекты.

По аналогии с нефрактальными объектами запишем соотношение "периметр-площадь" в виде

Здесь P - периметр; A - площадь; R(д) - параметр, зависящий от масштаба измерения (размера квадратной ячейки); D - фрактальная размерность "береговой" линии (1 < D < 2).

Учитывая, что периметр определяется выражением

запишем соотношение (1) в виде

Здесь с - коэффициент.

Изменение периметра при разных масштабах измерения определяется по формуле

Соотношение (2) выражает условие самоподобия "островов" с фрактальными границами (при этом масштаб измерения д должен быть достаточно маленьким, чтобы точно измерять область наименьшего острова).

Прологарифмируем соотношение (2)

Преобразовав полученное выражение, запишем:

На рис. 15 показана зависимость "периметр - площадь", представленная в логарифмических координатах.

Угловой коэффициент прямой, представленной на рис. 15, равен 2/D.

Рис. 3.15. Зависимость "площадь - периметр"

Анализ выражения (3) показывает, что величиной

2lg(c1/Dд1-D)/D),

зависящей от масштаба измерения д, можно пренебречь, так как при достаточно большом масштабе измерения "остров" становится нефрактальным объектом. Действительно, при D=DE=1 и масштабе, при котором с=1, имеем:

Окончательно запишем

Из выражения (4) найдем фрактальную размерность "береговой" линии

График (рис. 15), построенный в двойных логарифмических координатах, отражает условие самоподобия и позволяет найти фрактальную размерность.

Процедура определения фрактальной размерности заключается в покрытии фрактального объекта? "острова" - квадратной сеткой с размером ячейки д.

В этом случае периметр и площадь фигуры можно определить по формулам

где - число заполненных "береговой" линией ячеек; - число ячеек, покрывающих площадь "острова".

Таким образом, после подсчета и, по формулам (5) и (4) вычисляется фрактальная размерность D.

Для определения фрактальной размерности поверхности используем подход, предложенный Б. Мандельбротом

11. Размерность фрактальных поверхностей

Соотношение периметр-площадь используют, чтобы характеризовать множество фрактальных объектов, используемых в широком диапазоне научных и технических проблем.

В частности, это соотношение эффективно используется в работах, в которых дается характеристика поверхностей излома стали и методика для определения конкретных поверхностей изломов.

Применительно к инженерным поверхностям подобное соотношение используется редко. В основном при определении фрактальной размерности поверхности применяют метод покрытия. На рис. 16 представлены модели фрактальных поверхностей при разных значениях фрактальной размерности.

Для определения фрактальной размерности поверхности рассмотрим контакт фрактальной поверхности с гладкой.

В качестве примера возьмем сечение поверхности плоскостью, параллельной срединной плоскости. На рис. 17 представлено такое сечение фрактальной поверхности с DS = 2,6.

Рис. 16. Модели фрактальных поверхностей

Рис. 17. Сечение фрактальной поверхности

Считается, что все "острова" на рис. 17 самоподобны. Тогда для анализа соотношения периметр-площадь выделим характерный "остров" (рис. 18).

Рис. 18. Изображение "острова"

На рис. 19 представлена процедура определения фрактальной размерности клеточным методом.

Рис. 19. К оценке фрактальной размерности: покрытие фрактального объекта сеткой с квадратными ячейками (Paul S. Addison)

На рис. 20 представлен график зависимости "площадь-периметр" в двойных логарифмических координатах, построенный на основании рис. 19.

При этом считаем, что число квадратов пропорционально соответствующим параметрам: площади и периметра

Зависимость числа клеток, покрывающих площадь "острова" NA, от числа клеток, в которых попала "береговая" линия острова NP , построенная в логарифмических координатах при разных размерах стороны квадратной ячейки, оценивается в данном примере уравнением регрессии

NA=-69,14+3,303NP.

Рис. 20. Зависимости "площадь-периметр"

Фрактальная размерность определяется выражением

При исследовании контакта двух фрактальных поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности, привлекательным моментом является замена двух фрактальных поверхностей на контакт гладкой поверхности с приведенной фрактальной.

С этой целью используем ранее рассмотренную процедуру. Смоделируем контакт двух поверхностей и определим пятна касания при некотором сближении.

На рис. 21 показана картина контакта двух поверхностей с выделенным для исследования "островом".

Рис. 21. Контакт фрактальных поверхностей

Список литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт: [пер. с англ.]. - М.: Институт компьютерных исследований, 2012. - 656 с.

2. Федер Е. Фракталы / Е. Федер: [пер. с англ.]. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

3. Mandelbrot B.B. Fractal character of fracture surfaces of metals / B.B. Mandelbrot //Nature, 1984. - V. 308. - P. 721-722.

4. Mu Z.Q. Studies on the fractal dimension and fracture toughness of steel / Z.Q. Mu, C.W. Lung // J. Phys. D: Appl. Phys., 1988. - V. 21. - P. 848-850.

5. Sayles R.S. Surface topography as a nonstationary random process / R.S. Sayles, T.R. Thomas // Nature, 1978. - V. 271. - P. 431-434.

6. Addison P.S. Fractals and Chaos-An Illustrated Course / P.S. Addison. - Inst.of Physics Publishing. - Bristol, 2007.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Сущность понятия "фрактал". Сущность фрактальной размерности. Размерность Хаусдорфа и ее свойства. Канторово множество и его обобщение. Снежинка и кривая Коха. Кривая Пеано и Госпера, их особенности. Ковер и салфетка Серпинского. Дракон Хартера-Хейтуэя.

курсовая работа , добавлен 23.07.2011


Представление о взаимном расположении поверхностей в пространстве. Линейчатые и нелинейчатые поверхности вращения. Пересечение кривых поверхностей. Общие сведения о поверхностях. Общий способ построения линии пересечения одной поверхности другою.

реферат , добавлен 10.01.2009


Характеристика семейства поверхностей. Касательная прямая и плоскость. Криволинейные координаты. Вычисление длины дуги кривой на поверхности и ее площади. Угол между двумя линиями на поверхности. Нормальная кривизна линий, расположенных на поверхности.

дипломная работа , добавлен 18.05.2013


Основные понятия размерности упорядоченных множеств. Определение размерности упорядоченного множества. Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. Порядковая структура и элементы алгебраической теории решёток.

дипломная работа , добавлен 08.08.2007


Краткий обзор развития геометрии. Призма. Площадь поверхности призмы. Призма и пирамида. Пирамида и площадь ее поверхности. Измерение объемов. О пирамиде и ее объеме. О призме и параллелепипеде. Симметрия в пространстве.

реферат , добавлен 08.05.2003


Способы формообразования и отображения поверхностей. Закон образования поверхности. Основные свойства, вытекающие из закона образования поверхности вращения. Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма. Образование каркаса циклических поверхностей.

реферат , добавлен 19.05.2014


Кривая и формы поверхности второго порядка. Анализ свойств кривых и поверхностей второго порядка. Исследование форм поверхности методом сечений плоскостями, построение линии, полученной в сечениях. Построение поверхности в канонической системе координат.

курсовая работа , добавлен 28.06.2009


Классические фракталы. Самоподобие. Снежинка Коха. Ковер Серпинского. L-системы. Хаотическая динамика. Аттрактор Лоренца. Множества Мандельброта и Жюлиа. Применение фракталов в компьютерных технологиях.

курсовая работа , добавлен 26.05.2006


Из всех прямоугольников с площадью 9 дм2 найдите тот, у которого периметр наименьший.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (сделав рисунок). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

задача , добавлен 11.01.2004


Подробный анализ поверхностей Каталана и условия, отделяющие этот класс от класса линейчатых поверхностей. Формулы для расчета первой и второй квадратичных форм поверхностей класса КА. Доказательство утверждений о влиянии вида кривых на тип поверхности.

• 07 октября 2016, 15:50
• Маркин Павел
• Печать

Упрощенный алгоритм вычисления приближенного значения размерности Минковского, для ценового ряда.

Краткая справка:

Размерность Минковского - это один из способов задания фрактальной размерности ограниченного множества в метрическом пространстве, определяется следующим образом:

• где N(ε) минимальное число множеств диаметра ε, которыми можно покрыть исходное множество.

Размерность Минковского имеет так же другое название - box-counting dimension , из-за альтернативного способа ее определения, который кстати дает подсказку к способу вычисления этой самой размерности. Рассмотрим двумерный случай, хотя аналогичное определение распространяется и на n-мерный случай. Возьмем некоторое ограниченное множество в метрическом пространстве, например черно-белую картинку, нарисуем на ней равномерную сетку с шагом ε, и закрасим те ячейки сетки, которые содержат хотя бы один элемент искомого множества.Далее начнем уменьшать размер ячеек, т.е. ε, тогда размерность Минковского будет вычисляться по вышеприведенной формуле, исследуя скорость изменения отношения логарифмов.

• комментировать
• Комментарии ( 23 )

Индикатор фрактального измерения FDI

• 16 апреля 2012, 18:17
• Chartist
• Печать

Подготовлено по материалам Эрика Лонга.

В данной работе сделана попытка «перевести» теорию фрактального анализа (работы Петерса, Мандельброта) для практического использования.
Хаос существует везде: во вспышках молний, погоде, землетрясениях и на финансовых рынках. Может показаться, что хаотические события случайны, но это не так. Хаос это динамическая система, которая кажется случайной, однако на самом деле представляет собой высшую форму порядка.
Социальные и природные системы, включая частные, правительственные и финансовые учреждения все подпадают под эту категорию. В каждой из систем, созданных людьми, существует множество взаимосвязанных вводных, которые влияют на систему самым непредсказуемым образом.
Когда мы обсуждаем теорию хаоса, применительно к торговле, мы ставим своей целью определить кажущееся случайным событие на рынке, которое, однако, имеет некоторую степень предсказуемости. Для этого нам необходим инструмент, который позволил бы представить хаотический порядок. Этим инструментом является фрактал. Фракталами называются объекты с автомодельными отдельными частями. На рынке, фракталом может быть назван объект или «временные последовательности», которые напоминают друг друга в разных временных диапазонах: 3-минутном, 30-минутном, 3-дневном. Объекты могут отличаться друг от друга на разных шкалах исследования, однако, если рассмотреть их отдельно они должны иметь общие черты для всех временных диапазонов.

Свойства фракталов

Фрактальные свойства - не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь. Также и аналитик, сравнивая предыдущее поведение цен, в начале зарождения модели может предвидеть дальнейшее ее развитие, тем самым, не допуская грубых ошибок в прогнозировании.

Нерегулярность фракталов

Первым свойством фракталов является их нерегулярность. Если фрактал описывать функцией, то свойство нерегулярности в математических терминах будет означать, что такая функция не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке. Собственно к рынку это имеет самое прямое отношение. Колебания цен порой так волатильны и изменчивы, что это приводит многих трейдеров в замешательство. Нашей с вами задачей стоит разобрать весь этот хаос и привести его к порядку.

Самоподобие фракталов

Второе свойство гласит, что фрактал - это объект обладающий свойством самоподобия. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом и воспроизводится в различных масштабах без видимых изменений. Однако, изменения все же происходят, что в значительной степени может повлиять на восприятие нами объекта.

Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы. Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок «настоящей» геометрической прямой, «длины без ширины», как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента, прямая во всех своих частях устроена одинаково, она подобна самой себе, но это ее замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, ее «прямолинейностью» (рис.35).

Рис. 35

Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами - самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба. Пример самоподобного фрактала:

Рис. 36

В финансах эта концепция - не беспочвенная абстракция, а теоретическая переформулировка практичной рыночной поговорки - а именно, что движения акции или валюты внешне похожи, независимо от масштаба времени и цены. Наблюдатель не может сказать по внешнему виду графика, относятся ли данные к недельным, дневным или же часовым изменениям.

Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, валютные котировки, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т. д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Фракталы с нелинейной формой развития были названы Мандельбротом как - мультифракталы. Мультифрактал - это квазифрактальный объект с переменной фрактальной размерностью. Естественно, что реальные объекты и процессы гораздо лучше описываются мультифракталами.

Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.

Рассмотрим пример самоподобия на валютном рынке:

Рис. 37

На этих рисунках мы видим что они похожи, при этом имея разный масштаб времени, на рис а минутный масштаб, на рис.б недельный масштаб цен. Как видим, данные котировки не обладают свойством идеально повторять друга, однако мы можем считать их подобными.

Даже простейшие из фракталов - геометрически самоподобные фракталы - обладают непривычными свойствами. Например, снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь (рис.38). Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (математик сказал бы, что снежинка фон Коха нигде не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке).

Рис. 38

Мандельброт обнаружил, что результаты фракционного измерения остаются постоянными для различных степеней усиления неправильности объекта. Другими словами, существует регулярность (правильность, упорядоченность) для любой нерегулярности. Когда мы относимся к чему - либо, как к возникающему случайным образом, то это указывает на то, что мы не понимаем природу этой хаотичности. В терминах рынка это означает, что формирование одних и тех же типичных формаций должны происходить в различных временных рамках. Одноминутный график будет описывать фрактальную формацию так же, как и месячный. Такое «само - уподобление», находимое на графиках товарных и финансовых рынков, показывает все признаки того, что действия рынка ближе к парадигме поведения «природы», нежели поведения экономического, фундаментального анализа.

Рис. 39

На данных рисунках можно найти подтверждение выше сказанному. Слева изображен график с минутным масштабом, справа недельный. Здесь изображены валютные пары Доллар/Йена (рис.39(а)) и Евро/Доллар (рис.39(б)) с различными масштабами цен. Даже не смотря на то, что валютная пара JPY/USD имеет другую волатильноеть по отношению к EUR/USD мы можем наблюдать одну и ту же структуру движения цены.

Фрактальная размерность

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от евклидовой (иначе говоря топологическая размерность). Фрактальная размерность, является показателем сложности кривой. Анализируя чередование участков с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно научиться предсказывать поведение системы. И что самое главное, диагностировать и предсказывать нестабильные состояния.

В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов - извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика - Феликс Хаусдорф (1868- 1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей (размерность Хаусдорфа - Безиковича) - размерность Хаусдорфа - Безиковича. Что такое размерность и для чего она нам понадобится применительно к анализу финансовых рынков? До этого нам был известен только один вид размерности - топологическая (рис.41). Само слово размерность показывает, сколько измерений имеет объект. Для отрезка, прямой линии она равна 1, т.е мы имеем только одно измерение, а именно длину отрезка либо прямой. Для плоскости размерность будет 2, так как мы имеем двухмерное измерение, длина и ширина. Для пространства или объемных объектов, размерность равна 3: длина, ширина и высота.

Давайте рассмотрим пример с компьютерными играми. Если игра сделана в 3D графике, то она пространственна и объемна, если в 2D графике - графика изображается на плоскости, (рис. 40).

Рис. 40

Рис. 41

Самое необычное (правильнее было бы сказать - непривычное) в размерности Хаусдорфа - Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа - Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией.

Размерность характеризует усложнение множества (например прямой). Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е заполнит почти всю плоскость. (рис.42)

Рис. 42

Увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа - Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы «на ее месте» топологическая размерность, переход с 1 сразу к 2. Размерность Хаусдорфа - Безиковича - и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным, принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,15 для слегка извилистой линии, 1,2 - для более извилистой, 1,5 - для очень извилистой и т. д.

Рис. 43

Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа - Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа - Безиковича, но и любая другая) - это размерность, способная принимать не обязательно целые значения, но и дробные .

Для линейных геометрических фракталов, размерность характеризует их самоподобность. Рассмотрим рис.48 (А), линия состоит из N=4 отрезков, каждый из которых имеет длину r =1/3. В итоге получаем соотношение:

D = logN/log(l/r)

Совсем дело обстоит иначе, когда мы говорим мультифракталах (нелинейных). Здесь размерность утрачивает свой смысл как определение подобия объекта и определяется посредством различных обобщений, куда менее естественных, чем уникальная размерность самоподобных объектов.

На валютном рынке размерностью можно охарактеризовать волатильность котировок цены. Для каждой валютной пары характерно свое поведение в масштабе цен. У пары Фунт/Доллар (рис.44(а)) оно более спокойно, нежели чем у Евро/Доллар (рис. 44(б)). Самое интересное в том, что данные валюты двигаются одинаковой структурой к ценовым уровням, однако, размерность у них разная, что может сказаться на внутредневнои торговле и на ускользающих от не опытного взгляда, изменениях моделей.

Рис. 44

На рис. 45 показана размерность применительно к математической модели, для того чтобы вы более глубже прониклись в значение данного термина. Обратите внимание, что на всех трех рисунках изображен один цикл. На рис.а размерность равна 1.2, на рис.б размерность равна 1.5, а на рис.в 1.9. Видно, что с увеличением размерности восприятие объекта усложняется, возрастает амплитуда колебаний.

Рис. 45

На финансовых рынках размерность находит свое отражение не только в качестве волатильности цены, но и в качестве детализации циклов (волн). Благодаря ей, мы сможем различать принадлежность волны к определенному масштабу времени. На рис.46 изображена пара Евро/Доллар в дневном масштабе цен. Обратите внимание, четко видно сформировавшийся цикл и начало нового, большего цикла. Перейдя на часовой масштаб и увеличив один из циклов, мы сможем заметить более мелкие циклы, и часть крупного, расположенного на Dl(pHC.16). Детализация циклов, т.е их размерность, позволяет нам определить по начальным условиям, как может в дальнейшем развиваться ситуация. Мы можем сказать, что: фрактальная размерность отражает свойство масштабной инвариантности рассматриваемого множества .

Понятие инвариантности было введено Мандельбротом от слова «sealant» масштабируемый, т.е когда объект обладает свойством инвариантности, он имеет различные масштабы отображения.

Рис. 46

Рис. 47

На рис.47 кругом А выделен мини цикл (детализированная волна), кругом Б - волна большего цикла. Именно из-за размерности, мы не всегда можем определять ВСЕ циклы на одном масштабе цен.

О проблемах определения и свойствах развития непериодических циклов мы поговорим в разделе «Циклы на валютном рынке», сейчас для нас главное было понять, как и где размерность проявляется на финансовых рынках.

Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной (случайной) природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. Простой пример нелинейной динамической системы:

Джонни растет на 2 дюйма в год . Эта система объясняет, как высота Джонни изменяется во времени. Пусть х(n) будет ростом Джонни в этом году. Пусть его рост в следующем году будет записан, как х(n+1). Тогда мы можем написать динамическую систему в форме уравнения:

х(n+1) = х(n)+2

Видите? Разве это не простая математика? Если мы введем сегодняшний рост Джонни х(n) = 38 дюймов, то с правой стороны уравнения мы получим рост Джонни в следующем году, х(n+1) = 40 дюймов:

х(n+1) = х(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Движение справа налево в уравнении называется итерацией (повторением). Мы можем повторить уравнение снова, введя новый рост Джонни 40 дюймов в нужную сторону уравнения (то есть х(n) = 40), и мы получим х(n+1) = 42. Если мы итерируем (повторим) уравнение 3 раза, мы получим рост Джонни через 3 года, а именно 44 дюйма, начав с роста 38 дюймов.

Это - детерминированная динамическая система. Если мы хотим сделать ее недетерминированной (стохастической) , мы могли бы сделать такую модель: Джонни растет на 2 дюйма в год, больше или меньше и записать уравнение, как:

х(n+1) = х(n) + 2 + е

где е - небольшая ошибка (небольшая относительно 2), представляет некоторое вероятностное распределение.

Давайте вернемся к первоначальному детерминированному уравнению. Первоначальное уравнение, х(n+1) = х(n) + 2, является линейным. Линейное означает, что Вы добавляете переменные или константы или умножаете переменные на константы. Например, уравнение

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

является линейным. Но если Вы перемножите переменные, или возведете их в степень, большую единицы, уравнение (система) станет нелинейным. Например, уравнение

х(n+1) = х(n)2

является нелинейным, потому что х(n) - возведено в квадрат. Уравнение

является нелинейным, потому что две переменные, х и у, перемножены.

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное, т.е полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. Пример классической модели можно представить в виде постоянно убывающей, либо возрастающей тенденции. И мы можем предсказать ее поведение, зная прошлое объекта(исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Давайте теперь рассмотрим, как из прямой можно получить то, что мы называем фракталом, с присущими ему свойствами.

На рис.48 (А) изображена кривая Коха. Возьмем отрезок линии, ее длина = 1, т.е пока еще топологическая размерность. Теперь мы разделим ее на три части (каждая по 1/3 длины), и удалим среднюю треть. Но мы заменим среднюю треть двумя отрезками (каждый по 1/3 длины), которые можно представить, как две стороны равностороннего треугольника. Это стадия два (b) конструкции изображена на рис.48 (А). В этой точке мы имеем 4 меньших доли, каждая по 1/3 длины, так что вся длина - 4(1/3) = 4/3. Затем мы повторяем этот процесс для каждой из 4 меньших долей линии. Это - стадия три (с) . Это даст нам 16 еще меньших долей линии, каждая по 1/9 длины. Так что вся длина теперь 16/9 или (4/3)2. В итоге получили дробную размерность. Но не только это отличает образовавшуюся структуру от прямой. Она стала самоподобной и ни в одной ее точке невозможно провести касательную (рис.48 (Б))

Рис. 48

Применение фракталов на рынке

Учитывая все выше сказанное о фракталах и их свойствах, мы, работая с нелинейной системой финансовых данных, можем применить их в своей повседневной торговле. И так давайте рассмотрим основные преимущества фракталов на валютном рынке:

1. Применение фракталов позволит мгновенно запоминать практически всю историю котировок валютной пары. Когда вы будете запоминать большое количество ценовых данных, то начнете лучше чувствовать торговлю. Вы будете узнавать модели, о существовании которых и не представляли.

Почему именно применение фракталов дает вам это? Потому что применяя их, вы приводите хаос в порядок, а когда система упорядочивается у вас в голове, вы без труда сможете отыскать нужный вам элемент на рынке, это достигается с помощью специальных упражнений, которые будут описаны в конце данного курса.

2. Вы сможете анализировать десятки пар, поскольку теперь это вам не составит труда. Применение свойств фракталов, позволит вам с одного взгляда определить и сориентироваться на рынке.

3. Применяя теорию фракталов можно не пользоваться другими методами анализа и сделать ее уникальной в своем роде.

4. У вас поменяется взгляд на ход биржевых котировок. Вы не будете задаваться вопросом где я? У вас все время будут варианты действий.

5. Вы начнете находить на графике ситуации АНАЛОГИЧНЫЕ ходу цены валют в данной момент времени, что позволит вам предотвратить не разумные потери и сделать достоверный прогноз.

6. Теория фракталов это бездна идей и их применения. Применяя их свойства к финансовым данным, вы можете создать свою неповторимую торговую систему, в которой будет сочетание технического и фрактального анализа.

7. Вы по-другому взглянете на влияние новостей на рынок.

8. И что самое главное, теперь у вас всегда будет карта, без которой вы уже не будете себя представлять в бесконечном и манящем мире валют.

Конечно же я перечислил не весь список положительных сторон применения фракталов на рынке, остальные заключения вы уже сделаете самостоятельно изучив данный курс до конца.

(Материалы приведены на основании: А. Алмазов. Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки)

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает дробный, состоящий из фрагментов. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.

По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» . Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба (см. рис. 6). Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Рисунок 6. Самоподобие фракталов на примере множества Мандельброта

С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество дробной размерности .

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактальная геометрия -- это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака -- это не сферы, горы -- это не конусы, линии берега -- это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности» .

Мандельброт показал, что геометрия реального мира не евклидова, а фрактальная. «Правильные» евклидовы объекты являются математической абстракцией, природа же предпочитает негладкие, шероховатые, зазубренные формы. К евклидовой геометрии добавилась новая геометрия, отличие которой состоит в том, что она не оперирует гладкими объектами и привычными формами типа треугольника, квадрата, круга, шара и т.п. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

Фрактальная размерность

Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности (для пространства, для поверхности - , для линии - , для точки), которая, как известно, всегда является целым числом. Под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Несостоятельность такого наивного восприятия стала очевидной после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат (см. рис. 7). Первое из них было построено Кантором (1877 г.), второе -- Пеано (1890 г.).

Рисунок 7. Построение линии Пеано

Фракталам свойственна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Этот тонкий инструмент позволяет сделать заключение, к какому обычному геометрическому объекту -- точке, линии или плоскости - ближе конкретное экзотическое фрактальное множество.

Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше его топологической размерности. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая вторгается в двумерное пространство, потому как ее размерность находится между 1 и 2. Фракталы - бесконечно-изломанные, «махровые» линии. Они напоминают гармошку, каждый кусочек которой, даже очень маленький, если попытаться его распрямить, оказывается бесконечно длинным.

Обсудим фрактальную размерность на примере регулярных фракталов (математическая абстракция). Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на равных кусков длиной, так что. По мере уменьшения значение растёт линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на равных квадратиков со стороной, то получим - ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае, где - размерность объекта (см. рис. 8).

Рисунок 8. Покрытие объекта n-мерными кубиками

Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства и перейдя к пределу при стремящемся к нулю, можно выразить размерность в виде:

Это равенство является определением хаусдорфовой или фрактальной размерности, которая обычно принимает дробные значения.

Приведем пример множества, состоящего из отдельных точек, но имеющих их столько, сколько и любой отрезок действительной оси. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности -- рис. 9.

Рисунок 9. Построение множества Кантора

Множество точек, возникшее после этой процедуры, и является множеством Кантора. Нетрудно заметить, что длина этого множества равна нулю. Действительно,

Найдем теперь его хаусдорфову или фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве «эталона» отрезок длиной

Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия множества, равно

Поэтому его фрактальная размерность

Также, размерность можно определить, исходя из зависимости изменения размеров той части пространства, которую занимает объект, от изменения его линейных размеров :

Для линии. Для плоскости. Для объема.

Проделаем такой эксперимент: возьмем равносторонний треугольник и будем последовательно заменять каждую линию, составляющую его, на четыре других, как это показано на рисунке 10.

Рисунок 10. Построение снежинки Кох

Повторяя эту операцию достаточно долго, мы получим некий объект, напоминающий своим внешним видом снежинку (называется - снежинка Кох), причем с каждым шагом длина кривой, ограничивающей площадь снежинки, увеличивается на одну треть. Ее размерность будет равна, так как при каждом увеличении снежинки в три раза длина кривой увеличивается в четыре. Если устремить число итераций к бесконечности, получится объект, конечная площадь которого ограничивается бесконечной кривой.

Автор Рыбаков Д.А.

Фрактальная размерность

Реферат 1

Фрактальная размерность 1

Введение 2

Предыстория 3

Фракталы 5

Классификации фракталов 5

Геометрические фракталы 6

Алгебраические фракталы 6

Стохастические фракталы 8

Хаусдорфово расстояние между множествами 9

Топологическая размерность 11

Обобщение формул для объема n-мерных тел. 12

Размерность Минковского 13

Размерность Хаусдорфа-Безиковича 14

Компютерные модели фракталов 15

Вычисление размерности Минковского с помощью ЭВМ 17

Мультифракталы и обобщенные размерности Реньи dq 22

Фрактальная размерность d0 25

Информационная размерность d1 25

Корреляционная размерность d2 27

Функция мультифрактального спектра f(a) 27

Другие подходы к измерению размерности. 28

Гармоническая мера 29

Физический смысл фрактальных величин 30

Введение

Традиционная геометрия и тополигия далеко не полно описывают природные формы. Природа демонстрирует совершенно иной уровень сложности форм, отличный от прямых линий, эллипсов и других известных форм. Естественные формы зачастую оказываются неправильными, сильно фрагментированными и имеют фрактальную структуру. Исторически получилось так, что многие математики откладывали в сторону трудные формы, которые портили красоту их выкладок. В результате созданные ими идеализированные объекты весьмы редко встречаются в природе в чистом виде. В природе нет прямых линий, идеальных окружностей, плоскостей и тд.. Всевозможные возмущения, которыми пренебрегают, постоянно вносят свой вклад и портят иллюзию простоты.

К примеру, если взять кромку деревянной линейки, то она традиционно описывается с помощью отрезка прямой линии. Но современные данные говорят о том, что эта кромка далеко не идеально ровная, - в мелком масштабе существуют различные впадины и выступы. Погружаясь дальше можно обнаружить древесные волокна, которые состоят из еще более мелких волокон и пор. В более мелком масштабе все это состоит из молекул и атомов, которые постоянно вибрируют и меняются местами.

Несмотря на эти неровности, математическая идеализация кромки линейки с помощью отрезка является наиболее подходящей. Но такие прямые объекты - большая редкость в природе. Что делать с такими формами, которые принимают облака, клубы дыма, рельеф гор, русла рек, морские побережья, молнии, пути броуновского движения, диффузионные фронты, галактические скопления, волны в океане, перколяционные кластеры, синергетические структуры и тд и тп? В этих объектах почти нет никаких классических гладких участков. Традиционная геометрия уходит в бесконечную рекурсию при попытке описать. Подходы к их описанию и количественным оценкам появились достаточно недавно. Отцом фрактальной геометрии является Бенуа Мандельброт. Его фундаментальный труд был впервые опубликован в 1977 году.

В данном реферате будут отражены недостатки классического подхода к описанию физических явлений и обзор фрактальных величин. В реферате описаны такие фрактальные величины как: различные виды рамерности и гармоническая мера. Подробно освещены вопросы, связанные с компьютерным моделированием.

Не освещеными остались вопросы:

Фрактальные временные ряды и закон Херста,

Соотношение между мультифрактальным спектром f(a) и показателем массы (а)

Дробные производные и интегралы

Векторные и скалярные поля с фрактальными характеристиками

Задачи перколляции,

Является ли фрактальная математика новой парадигмой в науке?

Предыстория

Простые истины алгебры, геометрии, теории чисел и теории множеств проделали достаточно долгий путь от интуитивных догадок до строгих выкладок. Математиков, которые находили каверзные контрпримеры все это время недолюбливали, так как они вызывали кризис здравого смысла, к которому стремились остальные ученые.

Полани писал "...в научном исследовании всегда имеются какие-то детали, который ученый не удостаивает особым вниманием в процессе верификации точной теории. Такого рода личностная избирательность является неотъемлемой чертой науки."

Большинство ученых старались отстраниться от трудных линий.

Примером может служить история с кривой Хельге фон Коха описанная в 1904 году.

Чуть ли не единодушно ученые провозгласили кривую Коха чудо­вищной! За подробностями обратимся к работе Хана «Кризис здраво­го смысла» . Хан пишет: «Характер неспрямляемой кривой или кривой, к которой невозможно провести касательную совершенно не укладывается в рам­ки того, что мы можем понять интуитивно. В самом деле, всего лишь после нескольких повторений простой операции сегментирования обра­зующаяся фигура становится настолько сложной, что с трудом поддается непосредственному восприятию, а уж то, к чему эта кривая стремится в пределе, и вовсе невозможно себе представить. Только с помощью разу­ма, применяя логический анализ, мы можем до конца проследить эволю­цию этого странного объекта. Если бы мы положились в данном случае на здравый смысл, то составленное нами представление оказалось бы в корне ошибочшным, поскольку здравый смысл неизбежно привел бы нас к заключению, что кривых, не имеющих касательной ни в одной своей точке, попросту не бывает; Этот первый пример неадекватности интуитивного подхода затрагивает самые фундаментальные концепции дифференцирования ».

Подобное, единогласное недоумение математического сообщества вызвала кривая Джузеппе Пеано. Эта кривая может заполнить всю плоскость без остататка и при этом она не содержит самопересечений. Свой вклад в построение подобных множеств внес Госпер.

Кроме Пеано и Коха, свой вклад в кризис внесли Георг Кантор с его множеством, называемым «фрактальной канторовой пылью». Также Жанн Перен и Норберт Винер нашли нестандартные математические свойства в давно известном броуновском движении. Серпиньский и Менгер построили свои известные множества. Босман построил Дерево Пифагора. Дирихле привел пример разрывной в каждой точке функции.

Фракталы

Фракта́л (лат. fractus - дроблёный) - термин, введённый Бенуа Мандельбротом в 1975 году. До сих пор нет строгого математического определения фрактальных множеств. Свой фундаментальный труд Мандельброт выполнил в жанре эссе, как бы давая читателям простор для фантазии и позволив им соучаствовать в процессе разработки теории и её приложений. Заслуга Мандельброта в том, что он смог обобщить и систематезировать «неприятные» множества и построить красивую и интуитивно понятную теорию. Он открыл для нас удивительный мир фракталов, красота и глубина которых порой поражают воображение, вызывают восторг у ученых, хужожников, философов… Работа Мандельброта была стимулирована передовыми компьютерными технологиями, которые позволили генерировать, визуализировать и исследовать различные множества. Ни одна работа по фраталам не обходится без красивых иллюстраций.

Классификации фракталов

В

Фрактальная форма подвида цветной капусты Brassica cauliflora основном фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические. При определенных условиях стохостические фракталы могут называться м ультифракталы.

Однако существуют и другие классификации:

Рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования - то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

Детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические).

Геометрические фракталы

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса - самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность.

В двухмерном случае такие фракталы можно получить, задав некоторую ломаную, называемую генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков , составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры (а точнее, при переходе к пределу) получается фрактальная кривая. При видимой сложности полученной кривой, её общий вид задается только формой генератора.

Примерами таких кривых служат:

• 
  кривая дракона;
• 
  кривая Коха;
• 
  кривая Леви;
• 
  кривая Минковского;
• 
  кривая Пеано.

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

• 
  множество Кантора;
• 
  треугольник Серпиньского;
• 
  коврик Серпиньского;
• 
  кладбище Серпиньского;
• 
  губка Менгера;
• 
  дерево Пифагора.

Алгебраические фракталы

Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдет. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении:

где F(z) - какая-либо функция комплексной переменной.

Для всех точек прямоугольной или квадратной области на комплексной плоскости вычисляем достаточно большое количество раз zi + 1 = F(zi), каждый раз находя абсолютное значение z. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости могут иметь разное поведение:

• 
  С течением времени | z | стремится к бесконечности;
• 
  | z | стремится к 0;
• 
  | z | принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;
• 
  Поведение | z | хаотично, без каких-либо тенденций.

Одним из самых распространённых способов раскрашивания точек будет сравнение | z | с заранее выбранным числом, которое считается «бесконечным», т. е. цвет точки равен номеру итерации, на которой | z | достиг «бесконечности», или чёрному в противном случае.

Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения z вести другим образом, например:

• 
  Действительная часть z меньше определённого числа;
• 
  Мнимая часть z меньше определённого числа;
• 
  И мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа;
• 
  Другие способы.

И, наконец, ещё один интересный эффект - изменение палитры. После того, как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.

Примеры алгебраических фракталов:

• 
  множество Мандельброта;
• 
  множество Жюлиа;
• 
  бассейны Ньютона;
• 
  биоморфы.

Стохастические фракталы

Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Эти фракталы наиболее интересны для физиков, так как находят свое отражение в физических процессах. Соотношение случайности и закономерности может быть разным.

Хаусдорфово расстояние между множествами

Хаусдорф придумал оригинальню метрику, которая пременима к множествам из  n . Она играет важную роль в математике фракталов.
Мы будем руководствоваться интуитивно понятным определением. Так же здесь не будет приведено доказательство, что расстояние Хаусдорфа обладает всеми свойствами метрики.

Пусть Е и F – это 2 непустых компактных подмножества  n

Пусть число r>0.

Пусть B r – замкнутый шар с центром в начале координат.

Определение : дилатация E радиуса r (обозначается E + r) называется векторная сумма E + B r

Определение: Расстояние Хаусдорфа

H(F,E) = min{>0: E  F +  и F  E + }

Пример: Пусть А и В – эллипсы

Наименьшее , при котором А  B + и B  А + составляет 3.5, то есть H(A,B)=3.5.

Размерность

Существуют разные размерности для множеств. Привычные со школьной скамьи представления о трехмерном пространстве, двухмерной плоскости, одномерной линии и тд имеют весьма поверхностный и упрощенных взгляд на все многообразие, которое скрывает в себе термин размерность. Далее мы рассмотрим строгие алгебраические теории, филосовские и практические концепции размерности. Зачастую концепции размерности строятся через обнаружение параметров, которые относятся покрывающим множествам. Но это не единственный способ.

Так же будут рассмотрены дробные размерности, практическая значимость которых была показана Мадельбротом в 1970x годах.

Размерность сильно зависит от того как ее измерять. Это означает , что кроме формул для подсчета размерности необходимо точно задать и некий операциональный набор способа измерения и интерпретации размерности. Традиционно с размерностью связывают количество независимых параметров, необходимых что бы задать положение точки в пространстве. Положение точки области плоскости, ограниченной квадратом можно задать двумя измерениями, и тогда ее размерность будет равна двум. А можно исхитриться, и представить себе эту область в виде ломаной с очень сильно прижатыми друг к другу звеньями, сложенными наподобие столярного метра, например кривой Пеано. Тогда, для задания положения точки хватит и одного измерения, и размерность будет равна единице. Далее мы постораемся привести различные размерности и способы их измерений а так же дать информацию об их практическом применении.

Топологическая размерность

Топологическая размерность - это обычная геометрическая размерность. Она принимает исключительно целые значения.

Топологическая размерность отрезка линии равна 1, квадрата - 2, куба - 3. В простых явлениях она характеризует зачастую (но не всегда!) количество степеней свободы или количество параметров, необходимых для однозначного задания любой точки множества.

Теория топологической размерности – это развитая область математики. Строгое математическое определение для метрических и топологических пространств пренадлежит Лебегу и иногда этот вид размерности называется размерность Лебега. Так же свой вклад внесли Урысон и Брауэр.

Топологическая размерность определяется индуктивным способом, поэтому её еще иногда нызавют индуктивной размерностью.

Приведем краткое определение для метрических пространств

Определение: Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие X, имеющее кратность ;

При этом -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Премеры топологически одномерных пространств: окружность, салфетка Серпиньского, коврик Серпиньского, губка Менгера.

Обобщение формул для объема n-мерных тел.

Одной из предпосылок для введения дробных размерностей служат формулы объемов n-мерных тел, которые плавным образом зависят от n.

Например объем n-мерного куба V куба = L n , nN. Для евклидовых пространств n принимает только неотрицательные целые значения. Формула легко обобщается. Для пространств, задаваемых фрактальными множествами n может принимать вещественные неотрицательные значения. V куба = L D где D  R + .

Соответствующее обобщение можно сделать для шара

Точный объем шара V шара = r D (D)

Где (D) = Г(1/2) D / Г(1+D/2)

Где Г – непрерывная функция. Для целых чисел Г(n+1)=n!

Для рациональных - Г(x) = o   exp(-t) t x -1 dt ,

Размерность Минковского

Предыдущее обобщение служит поводом для обобщение рамерности для компактного множества А n . Приведем краткое определение. Для этого аппроксимируем А объединением шаров и просуммируем их объемы (или меры в общем случае).

Пусть N() - минимальное число шаров радиса , необходимых для покрытия компактного множества А. Их суммарный объем V пропорционален N() D . При 0 , N()const /  D . Логарифмируем и получаем ln N()ln const - D ln() .

ln 
n const - ln N()

При 0 значение ln(const) пренебрежимо мало по сравнению с ln(N())

Таким образом приходим к определению размерности Минковского

d
ln 

0
im M (A) = D = - lim

Путем подмены метрики доказывается, что вместо шаров могут быть использованы кубы.

Следует отметить, что нахождение минимального числа шаров - не тривиальная задача.

Рассмотрим пример: пусть А есть единичный отрезок в пространстве  n . Его можно покрыть N шарами радиуса 0.5/N.

ln 0.5/N()

0
D = - lim = 1

Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Эта размерность имеет сходство с размерностью Минковского. Разница в том, что шары берутся произвольного радиуса 0 Пусть А является произвольным множеством А n . Рассмотрим последовательность шаров r i Используя обобщеную формулу объема (или меры в общем случае) шара запишем

Феликс Хаусдорф смог доказать, что существует единственное вещественное число d, для которго S  0 и S   при 0 . Свой вклад в строгое доказательства теоремы внес Абрам Безикович, поэтому размерность d называется размерность Хаусдорфа-Безиковича.

В начале эта величина не вызывала большого интереса у ученых. Но в последующем она сыгарала важную роль в математике фракталов. В математическов литературе она обозначается как dim H (A).

Компютерные модели фракталов

Для большинства физических приложений исследуются одно, двух и трех – мерные множества. Наиболее удобными являются покрытия с помощью отрезков, квадратов или кубов в виде ломанной линии, сетки или решетки соответственно. С помощью ЭВМ невозможно представить фрактал полностью во всех его деталях. Обычно точность вычислений не превышает несколько десятков знаков после запятой, что не позволяет представить мелкие или очень крупные части. Фрактал в ЭВМ можно представить как минимум тремя способами. Приведенное ниже описание легко обобщается на случаи большей размерности.

1. 
   Клеточный, решетчатый или растровый способ. В этом способе пространство представлено в виде програмного массива чисел. Например: var space: array of boolean; Если space = true значит элемент принадлежит фракталу и наоборот. i,j – целые числа.
2. 
   Векторный способ. Это более точный способ. Элементы фрактала представлены в виде элементарных фигур, которые задаются векторно. В этом случае для того, что бы определить, принадлежит ли точка (x,y) необходимо перебрать элементы фрактала и вычислить, попадает эта точка хоть в один элемент. x и y – числа с плавающей точкой.
3. 
   Функциональный способ. В данном способе что бы определить принадлежит ли точка (x,y) необходимо вычислить функцию F(x,y) и проанализировать полученное значение. На самом деле все способы сводятся к функциональному способу. Просто, некоторые функции могут вычислятся аналитически, а некоторые обращаться к массивам данных для получения результата. Мы будем ссылаться на этот метод имея ввиду, что исползуются аналитические функции.

Большинство задач на момент написания реферата использует клеточный (растровый) метод №1 для моделирования множеств. Этот метод обладает несколькими недостатками. Для детального моделирования требуется L n ­ клеток. Где L – количество клеток в одном измерении n-количество измерений. Современная мощность компьютеров позволяет беспрепятственно моделировать 2х-мерные множетва. Для них L~ 10 3 . Для моделирования 3х мерных множеств требования к ОЗУ резко возрастают. Для таких задач L ~ 100, что явно недостаточно для полноценного моделирования. Альтернативой клеточной модели может служить векторная модель.

Для моделирования 3х-мерных физических стохастических фракталов применим векторный метод. Растровый метод вообще мало применим для 3х мерного моделирования. А аналитические функции, описывающие что-либо физическое стохастическое достаточно редки. Можно придумать пример, основанный на алгоритмах генерации случайных чисей, которые при одних и тех же (х,у,z) возвращают одинаковые значения. Например: F(x,y,z) = f(x,y,z) + MD5(x,y,z, r), где f – аналитическая функция, r – константый случайный параметр, MD5 – функция вычисления MD5 суммы. Но этот способ требует тщательного вероятностного анализа получаемых значений что бы результат был близок к какой-нибудь физической задаче.

Применимость методов моделирования.

Так же кратко стоит упомянуть о методах постоения фрактала. Для постоения геометрических фракталов используется Система Итерируемых Функций. Для алгебраических используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами. Для стохастических, все зависит от природы фрактала и сотношения закономерности и случайностей.

Вычисление размерности Минковского с помощью ЭВМ

Следует отметить, что описанным ниже способом вычисляется не только размерность Минковского, но и Хаусдорфа, хотя для некоторых множеств(например для счетных множеств) эти размерности, вычисленные аналитически могут отличаться [КОН 135]. Но в большинсте важных случаев эти размерности совпадают.

За основу берется формула зависимости количества кубов N от длины грани куба  при малых  в покрываещем множестве.

ln const – ln N()  d ln 

Как видно из формулы, если построить график зависимости ln N от ln  , то получится прямая с наколном d.

Разберём алгоритм на примере 2х мерного случая. Эта процедура используется для анализа изображений. Большинство изображений представлены в растровом виде, то есть в виде двухмерного массива .

Итерация 1

Исходное изображение

Итерация 2

Построив сетки для разных  получаем таблицу:

 N 1 917 2 354 3 206 4 141 5 102 6 82 7 66 8 56

ln 

График получается не идеально ровным. Наклон этого графика вычисляется методом наименьших квадратов. В данном примере наклон равен -1.346 , то есть d=1.346

Еще одним недостатком этого метода является то, что используемое покрытие неминимально. Поск минимально покрытия – нетривиальная задача. Затраты на его вычисление могут оказаться огромными, а полученное улучшение небольшим.

Одним из эффектов вычислений может служить следующее ступенчатое поведение графика.

Этот эффект проявляется при плавном изменении  между итерациями. На приведенном рисунке разница  между соседними точками составляет 1%. Эффект проявляется для всех типов фракталов и зависит от алгорима подсчета размерности.

Для наглядности рассмотрим простой случай, когда покрытие состоит из одноги и двух кваратов.

Для клеточных моделей существуют естественные ограниения 1L. Для векторных моделей ограничение менее строгое 0>L. Это означает, что  можно достаочно близко приближать к 0, эта близость ограничена только точностью вычислений конкретной ЭВМ. Это приводит еще к одной проблеме. Если модель состоит из конечного количества векторных объектов, то начиная с некоторого момента  может стать намного меньше размера любого объекта. Это приводит к тому, что наклон графика становится равным топологической размерности объектов. То есть проблема состоит в том, что бы выбрать нужный диапазон для , который имеет физический смысл. От выбора диапазона зависит получаемая величина. Интуитивно можно предположить, что    L, где средняя  – длина объектов, составляющих множество, а L – размер всего ансамбля. Выбор диапазона может быть договорным для разных типов явлений, пока не будет создана точная математическая теория для фракталов, задаваемых в ЭВМ.

Точечный метод. Точечный метод является альтернативой к предыдущему методу. Этот метод применим к клеточным(растровым) моделям.

Рас­смотрим сетку, покрывающую весь фрактал. Ее узлы будем назы­вать ячейками. Каждую ячейку, имеющую с фракталом непустое пересечение, будем считать за одну точку. Ясно, что именно эта схема реализуется при графическом выводе фрактала на экран как массива пикселов. В этом параграфе «подсчет числа точек в клетке» означает подсчет числа ячеек (или пикселов) в клетке. Это не то же самое, что считать действительное число геометрических точек в клетке - ведь их бесконечно много. Точечный метод принципиально отличается от клеточного; в первом подсчитывается число точек в клетке, а во втором - число клеток, необходимых для покрытия фрактала. Для упрощения вычислений будем считать клетки квадратными. Размер L клетки означает число ячеек по каждой стороне. Ограни­чимся нечетными значениями L; в этом случае центральная ячей­ка клетки будет равноудалена от всех сторон. Сначала вычислим вероятности Р(m, L) того, что клетка размера L содержит m точек (ячеек) фрактала. Для этого вокруг каждой точки фрактала, считая ее центральной, построим клетку размера L и подсчитаем число точек, попавших в нее. Предположим, что фрактал содержит М точек. Тогда P(m, L) равно числу клеток, содержащих m точек, m = 1,...,М, деленному на М. Заметим, что сумма всех вероятностей равна единице:

Как и в предыдущем алгоритме, N(L) есть число клеток раз­мера L, необходимых для покрытия фрактала. Как подсказывает интуиция, число клеток размера L, содержащих m точек, равно (М/m)Р(m,L). Поэтому оценка числа клеток, покрывающих все изображение, равна

где К - возможное число точек в клетке. Следовательно,

также пропорционально L d и может быть использовано для оценки фрактальной размерности d.

Заключение: вычисление фрактальной размерности является развивающейся областью. Существуют разные способы ее вычисления.

Мультифракталы и обобщенные размерности Реньи d q

Дадим общее определение мультифракталов. Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую ограниченную область A, имеющую diamA = L в евклидовом пространстве размерности n. Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество точек из N>>1, как-то распределенных в этой области. В конце концов предполагаем, что N.

Множество точек может представлять собой некоторую популяцию, состоящую из особей одного вида распределенных по области A. Такой популяцией могут быть, например, народонаселение или сеть метеостанций. Обе популяции неравномерно распределены по поверхности Земли. Пространственное распределение энергии, распределение ошибок в канале связи, распределение примесей в жидких средах, масс в веществе - примеры таких популяций . Важно отметить, что неравномерное распределение особей остается в силе независимо от линейного масштаба.

Разобьем всю область A на гиперкубические ячейки со стороной  и объемом  d соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим N() число таких ячеек, оно очевидно зависит от . Пусть n i () - число точек в i-й ячейке. Тогда величина

Есть вероятность того, что некоторая точка содержится в i-м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки. По правилу нормировки вероятностей:

Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем q:

где -  q  +.

Определение . Спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области А называется совокупность величин:

Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. То есть если d q = const, т.е. не зависит от q, то рассматриваемое множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной - фрактальной размерностью d H . Напротив, если функция d q как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется нелинейной функцией (q),определяющей поведение статистической суммы Z(q,) при 0

Следует иметь ввиду, что предельный нереход при 0 надо выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел N0.

В случае обычного фрактала функция

т.е. является линейной. Тогда все d q =d и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности d q которого совпадают, часто используется термин монофрактал.

Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является неоднородным, т.е. представляет из себя мультифрактал, и для его характеристики необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностей d q , число которых, в общем случае, бесконечно.

Так, например, при q основной вклад в обобщеннную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц n i в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения p i . Наоборот, при q - оcновной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения p i . Таким образом, функция d q показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек A.

Фрактальная размерность d 0

Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные фрактальные размерности d q для некоторых конкретных значений q. Так, при q=0 из выражения

следует, что

С другой стороны

Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к соотношению N()~ d 0 Это означает, что величина d 0 представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах.

Информационная размерность d 1

Теперь, устремляя q1, раскладывая экспоненту и учитывая условие нормировки, получаем

В результате мы приходим к следующему выражению

С точностью до знака числитель в этой формуле представляет собой энтропию фрактального множества:

Такое определение энтропии множества полностью идентично используемому в термодинамиаке, где под pi понимается вероятность обнаружить систему в квантовом состоянии i . В результате величина обобщенной фрактальной размерности d1 связана с энтропией соотношением

В термодинамике энтропия есть мера беспорядка в системе.

то величина d1 характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. В связи с этим обобщенную фрактальную размерность d1 часто называют информационной размерностью. Она показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки  к нулю.

Корреляционная размерность d 2

Не будем приводить полные выкладки. При вычислении суммы Z мы можем ввести кореляционный интеграл I() и получаем зависимость вероятности того, что две произвольно выбранные точки из множества A лежат внутри одной ячейки с размером .

Мы приходим к выводу, что обобщенная размерность d2 определяет зависимость корреляционного интеграла I() от . По этой причине величину d2 называют корреляционной размерностью.

Функция мультифрактального спектра f(a)

Размерности Реньи не являются фрактальными размерностями в строгом понимании, по этой причине они называются обобщенными. Существует функция мультифратального спектра, которая имеет непосредственное отношение к фрактальности.

При подсчете статистической суммы в спектре Реньи суммируются ячейки с разной заполненностью. Функция же мультифрактального спектра f(a) характеризует собой хаусдорфову размерность однородного фрактального подмножетва A a  A, характеризуемого одинаковыми вероятностями заполнения ячеек p i ~  a . Таким образом становится более понятным термин мультифрактал – его можно понимать как объеденение однородных фракталов.

Типичный вид функции f(a) :

Функция f(a) обладает следующими свойствами f(a)  d 0, f(a)  а. Знак равенства появляется, для полностью однородного фрактала.

Другие подходы к измерению размерности.

Существует зависимость поведения некоторых объектов от размерности пространства в котором они определены. Этот принцип является еще одним подходом к измерению размерности в пространстве, определяемым фракталом.

Таким примером может служить случайное броуновское движение. Можно рассмотреть броуновское движение внутри фрактала и посчитать зависимость расстояния до центра от времени. В работе профессора Шломо анализируется подобное движение в клеточной 2х мерной модели фрактала и возможные экспоненты для разных величин.

Можно отметить, что одним из таких интуитивно понятнях процессов является расширение шара. Если определить понятие шара в простантве, определенным фракталом, то можно посмотреть зависимость его объема от радиуса и тем самым вычислить степенные показатели этого расширения. То же самое можно проделать и с площадью шара. Можно отслеживать соотношения периметра и площади.

Гармоническая мера

При описании физических явлений бывает важно знать, эффективную площадь взаимодействия объекта со средой. Если объект фрактальный, то площадь как таковая не существует. Для такого описания существует так называемая гармоническая мера – распределение вероятности того, что частица, начав движение с бесконечности каснется определенной области объекта. Эта мера моделируется с помощью компьютера.


Исходый объект

Гармоническая мера

Существует проблема выбора траектории движения частиц. При разных траекториях мера может получиться разной. Так, если траектория будет изломана определенным образом, то у частиц будет больше шансов достичь малодоступные участки фрактала.

Физический смысл фрактальных величин

Для физических процессов зачастую важны такие показатели, как площадь взаимодействия. Например, при горении бензиновой смеси в двигателе внутреннего сгорания смесь поступяющая в двигатель представлена в виде набора капелек и струек безнзина разной величины.

Большинсто описаний используют усредненное описание смеси. Скажем соотношение обема топлива к объему цилиндра ничего не говорит о пространственном распределении смеси. Она может быть одиникова как для пара, так и для небольшой лужицы бензина, находящейся на дне цилиндра. То есть информация об площади взаимодействия смеси с возухом напрямую не используется.

С другой стороны, стоит вопрос какова же эта площадь, если распределение напоминает собой стохастический фрактал? Величина площади, как таковая не существует, так как она сильно зависит от точности измерения, как в случае береговой линии. Вместо площади можно измерить различные фрактальные величины. Экспериментально можно выяснить для какой размерности эффективность горения смеси максимальна. И исходя из этого строить теорию, которая будет обладать предсказатеьлной силой.

Подобные рассуждения могут возникнуть при исследовании искрового заряда. На момент описания реферата почти все подходы к описанию разряда носят интегральный, усредняющий характер. Искровые разряды зачастую изломаны и ветвятся. Если какие-то параметры зависят от длины искры или молнии, то они могут быть вычислены через фрактальные характеристики форм каналов. На момент написания реферата подобных данных не было представлено в литературе.

Литература
HAHN H. The crisis in intuition. The world of mathematics, Newman, Vol. III. New York; Simon & Schuster, 1956-1976. (Перевод с немецкого)

GARDNER, M. In which «monster» curves force redefinition of the word «curve». Scientific American. 1976, 235 (выпуск за декабрь), 124-133.

Полани М. Личностное знание М. 1985

Метафизика Фрактала М 1996

Циллис К. Об измерении фрактальных размерностей по физи­ческим свойствам. // В сб. статей «Фракталы в физике». - М.: Мир, 1988.

Р.М Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М.2000

С.В.Божокин, Д.А.Паршин Фракталы и мультифракталы. М.2001

Е.Федер. Фраталы. М.1991

Электронная сетевая энциклопедия «Википедия». http://ru.wikipedia.org

Б.Мадельброт Фрактальная геометрия природы. М. 2002

R.F. Voss, Random Fractals: Characterization and Measurement, Scaling Phenomena is Disordered Systems, Plenum Press, New York 1985.

Topological properties of percolation clusters S. Havlin, R. Nossal