Функция вида , где называется квадратичной функцией .

График квадратичной функции – парабола .

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА

То есть , ,

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х (в данном случае шаг 1), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай , , , то есть , то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать , , ? Как изменится поведение параболы? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях ордината каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при парабола «станет шире» параболы :

Давайте подитожим:

1) Знак коэффициента отвечает за направление ветвей. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз.

2) Абсолютная величина коэффициента (модуля) отвечает за “расширение”, “сжатие” параболы. Чем больше , тем у’же парабола, чем меньше |a|, тем шире парабола.

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»

Теперь давайте введем в игру (то есть рассматриваем случай, когда ), будем рассматривать параболы вида . Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси вверх или вниз в зависимости от знака :

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда перестанет быть равным .

Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: , .

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы :

Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку . Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что . То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке , так как .

2) осью симметрии параболы является прямая , поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение . В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) . В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде

1) определяем направление ветвей (а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины параболы по формуле , .

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение

Пример 1

Пример 2

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде , где – некоторые числа (например, ), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины . Почему?

Возьмем квадратный трехчлен и выделим в нем полный квадрат: Посмотрите, вот мы и получили, что , . Мы с вами ранее называли вершину параболы , то есть теперь , .

Например, . Отмечаем на плоскости вершину параболы , понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому (то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-

чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.

Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.

Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.

Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).

Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .

Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением

Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение

которое называют каноническим уравнением параболы .

Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.

Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).

Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).

В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).

Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.

Точка называется фокусом параболы, прямая - директрисой параболы, середина перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние от вершины параболы до ее фокуса - фокусным расстоянием (рис.3.45,а). Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок , соединяющий произвольную точку параболы с ее фокусом, называется фокальным радиусом точки . Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице .

Геометрическое определение параболы, выражающее ее директориальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

(3.51)

Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.45,6). Вершину параболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокус перпендикулярно директрисе, примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки к точке ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через вершину параболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат оказалась правой).

Составим уравнение параболы, используя ее геометрическое определение, выражающее директориальное свойство параболы. В выбранной системе координат определяем координаты фокуса и уравнение директрисы . Для произвольной точки , принадлежащей параболе, имеем:

где - ортогональная проекция точки на директрису. Записываем это уравнение в координатной форме:

Возводим обе части уравнения в квадрат: . Приводя подобные члены, получаем каноническое уравнение параболы

т.е. выбранная система координат является канонической.

Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.51), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому параболой. Таким образом, аналитическое определение параболы эквивалентно его геометрическому определению, выражающему директориальное свойство параболы.

Приведем следующие свойства параболы:

Свойство 10.10.

Парабола имеет ось симметрии.

Доказательство

Переменная y входит в уравнение только во второй степени. Поэтому, если координаты точки M (x ; y) удовлетворяют уравнению параболы, то и координаты точки N (x ; – y) будут ему удовлетворять. Точка N симметрична точке M относительно оси Ox . Следовательно, ось Ox является осью симметрии параболы в канонической системе координат.

Ось симметрии называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.

Свойство 10.11.

Парабола расположена в полуплоскости x ≥ 0.

Доказательство

Действительно, так как параметр p положителен, то уравнению могут удовлетворять только точки с неотрицательными абциссами, то есть точки полуплоскости x ≥ 0.

При замене системы координат заданная в условии точка A с координатами будет иметь новые координаты, определяемые из соотношенийТаким образом, точка A будет иметь в канонической системе координатыДанную точкуназывают фокусом параболы и обозначают буквой F .

Прямая l , задаваемая в старой системе координат уравнением в новой системе координат будет иметь видили, опуская штриховку,

Данная прямая в канонической системе координат называется директрисой параболы. Расстояние от нее до фокуса называется фокальным параметромпараболы. Очевидно, он равен p . Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε = k = 1.

Теперь свойство, через которое мы определили параболу, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: любая точка параболы равноудалена от ее фокуса и директрисы.

Вид параболы в канонической системе координат и расположение ее директрисы приведены на рис. 10.10.1.

Рисунок 10.10.1.

Над полем P, есть линейный оператор, если 1) для любых векторов2)для любого вектораи любого.

1) Матрица линейного оператора: Пусть φ-Л.О. векторного пространства V над полем P и один из базисов V: ПустьТогда матрица Л.О.φ:2) Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах: M(φ) - матрица Л.О. φ в старом базисе. M1(φ) - матрица Л.О. φ в новом базисе. Т - матрица перехода от старшего базиса к новому базису.2)Действия над линейными операторами: Пусть φ и f - различные Л.О. векторного пространства V. Тогда φ+f - сумма линейных операторов φ и f. k·φ - умножение Л.О. на скаляр k. φ·f - произведение линейных операторов φ и f. Являюися также Л.О. вектороного пространства V.

4) Ядро линейного оператора: d(φ) - размерность ядра Л.О. φ (дефект).5) Образ линейного оператора: ranφ - ранг Л.О. φ (размерность Jmφ).6) Собсвенные векторы и собственные значения линейного вектора:  Пусть φ - Л.О. векторного пространства V над полем P и иЕслито λ - собственное значение- собственный вектор Л.О. φ, отвечающий λ.  Характеристическое уравнение Л.О. φ:  Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению λ:  Л.О. вектороного пространства называются Л.О. с простым спектром, если φ, если φ имеет ровно n собственных значений.  Если φ - Л.О. с простым спектром, то он имеет базис из собственных векторов, относительно которого матрица Л.О. φ диагональна.

2) Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называетсянаправляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы иколлинеарны, поэтому найдётся такое числоt , что , где множительt может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и, получаем. Это уравнение называетсявекторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что ,иотсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точкуМ(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы иколлинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметрt . Действительно, из параметрических уравнений получаем или.

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюдаx = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикуляренOx , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осямOx и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

Канонические уравнения: .

Параметрические уравнения:

Составить уравнения прямой, проходящей через две точки М 1 (-2;1;3), М 2 (-1;3;0).

Составим канонические уравнения прямой. Для этого найдем направляющий вектор . Тогдаl :.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагаяz = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостьюxOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и. Поэтому за направляющий векторпрямойl можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

1) Пусть и - два базиса в R n .

Определение. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица C, столбцами которой являются координаты векторов в базисе :

Матрица перехода обратима, поскольку векторы базиса линейно независимы и, следовательно,

Вектор линейно выражается через векторы обоих базисов. Связь координат вектора в разных базисах установлена в следующей теореме.

Теорема. Если

то координаты вектора в базисе , и его координаты в базисе связаны соотношениями

где - матрица перехода от базиса к базису , - векторы-столбцы координат вектора в базисах и соответственно.

2)Взаимное расположение двух прямых

Если прямые заданы уравнениями ито они:

1) параллельны (но не совпадают)

2) совпадают

3) пересекаются

4) скрещиваются

Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда (- знак отрицания условия):

3)

4)

Расстояние между двумя параллельными прямыми

В координатах

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

В координатах

Угол между двумя прямыми

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

Или

Взаимное расположение прямой и плоскости

Плоскость и прямая

1) пересекаются

2) прямая лежит в плоскости

3) параллельны

Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

1)

Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью

Точка пересечения прямой с плоскостью

В координатах:

Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости

В координатах:

1) Очевидно, что система линейных уранвений может быть записана в виде:

x 1 + x 2 + … + x n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА * не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот жебазисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

2) Плоскость в пространстве.

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (х 0 ,у 0 , z 0 ) перпендикулярно вектору n = {A , B , C },называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z ) вектор М 0 М = {x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 ) ортогонален вектору n , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) + C (z - z 0 ) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0 . Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости .

Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2) А = 0 – n = {0,B , C }Ox , следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох .

3) В = 0 – плоскость Ax + Cz + D = 0 параллельна оси Оу .

4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси О z .

5) А = В = 0 – плоскость Cz + D Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу ).

6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Ох z .

7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оу z .

8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох .

9) B = D = 0 – плоскость Ах + С z = 0 проходит через ось Оу .

10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz .

11) A = B = D = 0 – уравнение С z = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Ох z .

13) B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оу z .

Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:

называемому уравнением плоскости в отрезках . Способ преобразования показан в лекции 7. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

1) Однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rankA < n .

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерностиn - r ; - базис этого подпространства.

6. Теорема о разложении определителя на сумму определителей и следствия из нее.

7. Теорема о разложении определителя по элементам строки(столбца) и следствия из неё.

8. Операции над матрицами и их свойства. Доказать одно из них.

9.Операция транспонирования матрицы и её свойства.

10. Определение обратной матрицы. Доказать что у каждой обратимой матрицы существует лишь одно обращение.

13. Блочные матрицы. Сложение и умножение блочных матриц. Теорема об определителе квазитреугольной матрицы.

14. Теорема об определителе произведения матриц.

15. Теорема о существовании обратной матрицы.

16.Определение ранга матрицы. Теорема о базисном миноре и следствие из неё.

17. Понятие о линейной зависимости строк и столбцов матрицы. Теорема о ранге матрицы.

18. Методы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

19. Применение элементарных преобразований только строк(только столбцов) к отысканию обратной матрицы.

20. Системы линейных уравнений. Критерий совместности и критерий определенности.

21. Решение совместной системы линейных уравнений.

22. Однородные системы линейных уравнений. Теорема о существовании фундаментальной системы решений.

23. Линейные операции над векторами и их свойства. Доказать одно из них.

24. Определение разности двух векторов. Доказать что для любых векторов иразностьсуществует и единственна.

25. Определение базиса, координаты вектора в базисе. Теорема о разложении вектора по базису.

26. Линейная зависимость векторов. Свойства понятия линейной зависимости, доказать одно из них.

28. Декартовы системы координат в пространстве, на плоскости и на прямой. Теорема о линейной комбинации векторов и следствия из нее.

29. Вывод формул выражающих координаты точки в одной дск через координаты этой же точки в другой дск.

30. Скалярное произведение векторов. Определение и основные свойства.

31. Векторное произведение векторов. Определение и основные свойства.

32. Смешанное произведение векторов. Определение и основные свойства.

33. Двойное векторное произведение векторов. Определение и формула для вычисления(без доказательства).

34. Алгебраические линии и поверхности. Теоремы об инвариантности(неизменности) порядка.

35. Общие уравнения плоскости и прямой.

36. Параметрические уравнения прямой и плоскости.

37. Переход от общих уравнений плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим уравнениям. Геометрический смысл коэффициентов а,в,с (а,в) в общем уравнении плоскости(прямой на плоскости).

38. Исключение параметра из параметрических уравнений на плоскости(в пространстве), канонические уравнения прямой.

39. Векторные уравнения прямой и плоскости.

40. Общие уравнения прямой в пространстве, приведение к каноническому виду.

41. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой. Другие задачи о прямых и плоскостях.

42. Определение эллипса. Каноническое уравнение эллипса. Параметрические уравнения эллипса. Эксцентриситет эллипса.

44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.

45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.

45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.

47.Определение линейного пространства. Примеры.

49. Определение Евклидова пространства. Длина вектора. Угол между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Пример.

50. Определение евклидова пространства. Теорема Пифагора. Неравенство треугольникаю Пример.

44. Определение параболы. Вывод канонического уравнения параболы.

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.

Для вывода уравнения построим:

Согласно определению:

Так как у 2 >=0 то парабола лежит в правой полуплоскости. При х возрастающем от 0 до бесконечности
. Парабола симметрична относительно Ох. Точка пересечения параболы со своей осью симметрии называется вершиной параболы.

45. Кривые второго порядка и их классификация. Основная теорема о квп.

Существует 8 типов КВП:

1.эллипсы

2.гиперболы

3.параболы

Кривые 1,2,3 – канонические сечения. Если пересечь конус плоскостью параллельной оси конуса то получим гиперболу. Если плоскостью параллельной образующей то параболу. Все плоскости не проходят через вершину конуса. Если любой другой плоскостью то эллипс.

4.пара параллельных прямых y 2 +a 2 =0, a0

5.пара пересекающихся прямых y 2 -k 2 x 2 =0

6.одна прямая y 2 =0

7.одна точка x 2 + y 2 =0

8.пустое множество - пустая кривая (кр. без точек) x 2 + y 2 +1=0 или x 2 + 1=0

Теорема(основная теорема о КВП): Уравнение вида

a 11 x 2 + 2 a 12 x y + a 22 y 2 + 2 a 1 x + 2 a 2 y + a 0 = 0

может представлять только кривую одного из указанных восьми типов.

Идея доказательства состоит в том чтобы прейти к такой системе координат в которой уравнение КВП примет наиболее простой вид, когда тип кривой, которую оно представляет становится очевидным. Теорема доказывается с помощью поворота системы координат на такой угол при котором член с произведением координат исчезает. И с помощью параллельного переноса системы координат при котором исчезает или член с переменной х или член с переменной у.

Переход к новой системе координат: 1. Параллельный перенос

2. Поворот

45. Поверхности второго порядка и их классификация. Основная теорема о пвп. Поверхности вращения.

ПВП - множество точек прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению 2 степени: (1)

Предполагается, что хотя бы один из коэффициентов при квадратах или при произведениях отличен от 0. Уравнение инвариантно относительно выбора системы координат.

Теорема Любая плоскость пересекает ПВП по КВП за исключением особого случая, когда в сечении – вся плоскость.(ПВП может быть плоскостью или парой плоскостей).

Существует 15 типов ПВП. Перечислим их указав уравнения, которыми они задаются в подходящих системах координат. Эти уравнения называются каноническими(простейшими). Строят геометрические образы соответствующие каноническим уравнениям методом параллельных сечений: Пересекают поверхность координатными плоскостями и плоскостями параллельными им. В результате получают сечения и кривые, которые дают представление о форме поверхности.

1. Эллипсоид.

Если a=b=c то получаем сферу.

2. Гиперболоиды.

1). Однополостный гиперболоид:

Cечение однополостного гиперболоида координатными плоскостями: XOZ:
- гипербола.

YOZ:
- гипербола.

Плоскостью XOY:
- эллипс.

2). Двуполостной гиперболоид.

Начало координат – точка симметрии.

Координатные плоскости – плоскости симметрии.

Плоскость z = h пересекает гиперболоид по эллипсу
, т.е. плоскость z = h начинает пересекать гиперболоид при | h |  c . Сечение гиперболоида плоскостями x = 0 и y = 0 - это гиперболы.

Числа a,b,c в уравнениях (2),(3),(4) называются полуосями эллипсоидов и гиперболоидов.

3. Параболоиды.

1). Эллиптический параболоид:

Сечение плоскостью z = h есть
, где
. Из уравнения видно, что z  0 – это бесконечная чаша.

Пересечение плоскостями y = h и x = h
- это парабола и вообще

2). Гиперболический параболоид:

Очевидно, плоскости XOZ и YOZ – плоскости симметрии, ось z – ось параболоида. Пересечение параболоида с плоскостью z = h – гиперболы:
,
. Плоскость z =0 пересекает гиперболический параболоид по двум осям
которые являются ассимптотами.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

1). Конус – это поверхность
. Конус оюразован прямыми линиями, проходящими через начало координат 0 (0, 0, 0). Сечение конуса – это эллипсы с полуосями
.

2). Цилиндры второго порядка.

Это эллиптический цилиндр
.

Какую бы прямую мы не взяли пересекающую эллипсы и параллельную оси Oz то она удовлетворяет этому уравнению. Перемещая эту прямую вокруг эллипса получим поверхность.

Гиперболический цилиндр:

На плоскости ХОУ это гипербола. Перемещаем прямую пересекающую гиперболу параллельно Oz вдоль гиперболы.

Параболический цилиндр:

На плоскости ХОУ это парабола.

Цилиндрические поверхности образуются прямой(образующей) перемещающейся параллельно самой себе вдоль некоторой прямой(направляющей).

10. Пара пересекающихся плоскостей

11.Пара параллельных плоскостей

12.
- прямой

13.Прямая – «цилиндр», построенный на одной точке

14.Одна точка

15.Пустое множество

Основная теорема о ПВП: Каждая ПВП принадлежит к одному из 15 типов рассмотренных выше. Других ПВП нет.

Поверхности вращения. Пусть задана ПДСК Oxyz и в плоскости Oyz линия е определяемая уравнением F(y,z)=0 (1). Составим уравнение поверхности полученной вращением этой линии вокруг оси Oz. Возьмем на линии е точку М(y,z). При вращении плоскости Oyz вокруг Oz точка М опишет окружность. Пусть N(X,Y,Z) – произвольная точка этой окружности. Ясно что z=Z.

.

Подставив найденные значения z и y в уравнение (1) получим верное равенство:
т.е. координаты точкиN удовлетворяют уравнению
. Таким образом любая точка поверхности вращения удовлетворяет уравнению (2). Не сложно доказать что если точкаN(x 1 ,y 1 ,z 1) удовлетворяет уравнению (2) то она принадлежит рассматриваемой поверхности. Теперь можно сказать что уравнение (2) есть искомое уравнение поверхности вращения.

"

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки F

и заданной прямой dd, не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает директориальное свойство параболы .

Директориальное свойство парабол

Точка F называется фокусом параболы, прямая d - директрисой параболы, середина O перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису, - вершиной параболы, расстояние p от фокуса до директрисы - параметром параболы, а расстояние p2от вершины параболы до её фокуса - фокусным расстоянием. Прямая, перпендикулярная директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фокальной осью параболы). Отрезок FM, соединяющий произвольную точку M параболы с её фокусом, называется фокальным радиусом точки

M. Отрезок, соединяющий две точки параболы, называется хордой параболы.

Для произвольной точки параболы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы равно единице. Сравнивая директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы, заключаем, что эксцентриситет параболы по определению равен единице

Геометрическое определение параболы , выражающее её директориальное свойство, эквивалентно её аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением параболы:

Свойства

• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы . Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Функция одной действительной переменной: основные понятия, примеры.

Определение: Если каждому значению х числового множества X по правилу f соответствует единственное число множества Y, то говорят, что на числовом множестве X задана функция у = f(x), значения х определяются множеством значений, входящих в область определения функции (Х) .
В этом случае х называется аргументом, а у - значением функции. Множество X называется областью определения функции, Y - множеством значений функции.
Часто задают это правило формулой; например, у = 2х + 5. Указанный способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.
Функцияю можно так же задать графиком - Графиком функции у - f(x) называется множество точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению у = f(x).